Anillos

´
CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 2
Anillos

Oswaldo Lezama

Departamento de Matem´ticas
a
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Sede de Bogot´
a

Mayo 30 de 2012

ii

Cuaderno dedicado a Lukas, mi hijo.

Contenido
Pr´logo
o

v

1. Anillos y subanillos
1
1.1. Definici´n y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
o
1.2. Subanillos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Ideales
12
2.1. Definici´n y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
o
2.2. Operaciones con ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 22
3. Anillo cociente y homomorfismos
3.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
24
28
33

4. Producto de anillos
4.1. Definici´n y propiedades elementales . . . . . . . .. . . . . . . . . .
o
4.2. Teorema chino de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
35
37
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5. Ideales primos y maximales
40
5.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2. Comportamiento a trav´s de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . .43
e
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6. Dominios de integridad
48
6.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2. Dominios gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iii

iv

CONTENIDO7. Anillos de fracciones: caso conmutativo
57
7.1. Construcci´n y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
o
7.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8. Polinomios y series
8.1. El anillo de series . . . .
8.2. El anillo de polinomios .8.3. Propiedades elementales
8.4. Teorema de Gauss . . .
8.5. Ejercicios . . . . . . . .
Bibliograf´
ıa

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82

Pr´logo
o
La colecci´n Cuadernos de ´lgebra consta de 10 publicaciones sobre los principales
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temas de esta rama de las matem´ticas, y pretende servir de material para preparar
a
los ex´menes de admisi´n y de candidatura delos programas colombianos de doca
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torado en matem´ticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´sico de
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los cursos de estructuras algebraicas y ´lgebra lineal de los programas de maestr´
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ıa;
los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los
ex´menes de candidatura, a saber: anillos y m´dulos, categor´ ´lgebra homol´gia
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ıas, a
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ca,´lgebra conmutativa y geometr´ algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases
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dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los ultimos 25 a˜os,
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n
y est´n basados en las fuentes bibliogr´ficas consignadas en cada uno de ellos, como
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tambi´n en el libro Anillos, M´dulos y Categor´ , publicado por la Facultad de
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Ciencias de la Universidad Nacional...