anillos

´
CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 2
Anillos

Oswaldo Lezama

Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Sede de Bogot´a

30 de junio de 2014

ii

Cuaderno dedicado a Lukas, mi hijo.

Contenido
Pr´
ologo

v

1. Anillos y subanillos
1
1.1. Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Subanillos . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Ideales
12
2.1. Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Operaciones con ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Anillocociente y homomorfismos
3.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
25
29
34

4. Producto de anillos
4.1. Definici´on y propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Teorema chino deresiduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36
36
38
39

5. Ideales primos y maximales
41
5.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2. Comportamiento a trav´es de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 48
6. Dominios de integridad
49
6.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2. Dominios gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iii

iv

CONTENIDO

7. Anillos de fracciones: caso conmutativo
58
7.1. Construcci´ony propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8. Polinomios y series
8.1. El anillo de series . . . .
8.2. El anillo de polinomios .
8.3. Propiedades elementales
8.4. Teorema de Gauss . . .
8.5. Ejercicios . . . .. . . .
Bibliograf´ıa

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

67
67
69
71
75
80
82

Pr´
ologo
La colecci´on Cuadernos de ´algebra consta de 10 publicaciones sobrelos principales
temas de esta rama de las matem´aticas, y pretende servir de material para preparar
los ex´amenes de admisi´on y de candidatura de los programas colombianos de doctorado en matem´aticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´asico de
los cursos de estructuras algebraicas y ´algebra lineal de los programas de maestr´ıa;
los cinco cuadernos siguientes contienen algunosde los principales temas de los
ex´amenes de candidatura, a saber: anillos y m´odulos; categor´ıas; ´algebra homol´ogica;
´algebra no conmutativa; ´algebra conmutativa y geometr´ıa algebraica. Cada cuaderno
es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia
en los u
´ltimos 25 a˜
nos, y est´an basados en las fuentes bibliogr´aficas consignadas en
cada uno de ellos,como tambi´en en el libro Anillos, M´
odulos y Categor´ıas, publicado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya
edici´on est´a totalmente agotada (v´ease [12]). Un material similar, pero mucho m´as
completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge
Lang, Algebra, cuya tercera edici´on revisada ha sido publicada por Springer en...