anillos

CAPITULO III

ANILLOS
Rodrigo Vargas
1. Anillos y Homomorfismos
1. (a) Sea G un grupo abeliano (aditivo). Definimos una operaci´on de multiplicaci´on en G por ab = 0 (para todo a, b ∈ G). Enonces G es un
anillo.
(b) Sea S el conjunto de todos los subconjuntosde algun conjunto U fijo.
Para A, B ∈ S, defina A + B = (A − B) ∪ (B − A) y AB = A ∩
B. Entonces S es un anillo. ¿Es S conmutativo? ¿Tieneelemento
unidad?
Soluci´
on:
(a) Tenemos que (ab)c = 0 · c = 0 = a · 0 = a(bc) y el producto es
asociativo, de manera similar para la ley de distribuci´on a(b + c) =
0 = 0 + 0 = ab + ac . Por lo tanto, G es un anillo.
(b)

(i) (S, +) es grupo abeliano.
[A + B] + C = [(A − B) ∪ (B − A)] + C
=

Existe φ ∈ S tal que
A + φ = (A − φ) ∪ (φ − A) = (A ∩ S) ∪ (φ ∩ Ac ) = A ∪ φ = A
Para todo A ∈ S existe B =A ∈ S tal que
A + B = A + A = (A − A) ∪ (A − A) = φ
A + B = (A − B) ∪ (B − A) = (B − A) ∪ (A − B) = B + A luego
S es abeliano.
(ii) Asociatividad de la multiplicaci´on
(AB)C = (A ∩ B)C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A(B ∩ C) =
A(BC)
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(iii) Ley de distribuci´on
A(B + C) = A((B − C) ∪ (C − B))

= A ∩ ((B − C) ∪ (C − B))

= (A ∩ (B − C)) ∪ (A ∩ (C − B))

= (A ∩ −A ∩ C) ∪ (A ∩ C − A ∩ B)
= A∩B+A∩C= AB + AC

2. Sea {Ri | i ∈ I} una familia de anillos con unidad. Hacemos la suma
directa de grupos abelianos
Ri sobre un anillo definiendo la multiplii∈I

caci´on coordenada a coordenada. ¿Tiene

Ri unidad?
i∈I

Soluci´
on: Sean 1i la unidad del anillo Ri y xi ∈ Ri , con i ∈ I entonces
el elemento i∈I 1i satisface
xi
i∈I

Luego,

i∈I

1i

=

i∈I

i∈I

xi · 1i =

xi
i∈I

Ri tiene unidad.

3. Unanillo R tal que a2 = a para todo a ∈ R es llamado un anillo Booleano.
Pruebe que todo anillo Booleano R es conmutativo y a + a = 0 para todo
a ∈ R.
Soluci´
on: Para cada a ∈ R se tiene que
a = a2 = aa = (−a)(−a) = (−a)2 = −a .
Sean a, b ∈ R entonces
a + b = (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a + ab + ba + b
cancelando se obtiene que ab + ba = 0, es decir, ab = −ba = ba luego R
es conmutativo y adem´asa + a = (a + a)2 = a2 + a2 + a2 + a2 = a + a + a + a ⇒ a + a = 0 .
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4. Sea R un anillo y S un conjunto no vacio. Entonces el grupo M(S, R)
es un anillo con la multiplicaci´on definida como sigue: el producto de
f, g ∈ M(S, R) es la funci´on S → R dada por s → f (s)g(s).
Soluci´
on: Sabemos que M(S, R) es un grupo conmutativo. Ahora bien,
dados f, g, h ∈ M(S, R) se tiene
((f · g) · h)(s) = (f ·g)(s)h(s) = (f (s)g(s))h(s)

= f (s)(g(s)h(s)) = f (s)(g · h)(s) = (f · (g · h))(s)

pues el producto en R es asociativo, entonces el producto definido en
M(S, R) es asociativo. Lo mismo ocurre con la ley de distribuci´on.
5. Si A es el grupo abeliano Z
tativo.

Z, entonces End A es un anillo no conmu-

6. Un anillo finito con mas de un elemento y sin divisores de cero es un anillo
de divisi´on.7. Sea R un anillo con mas de un elemento tal que para cada elemento no
cero a ∈ R existe un u
´ nico b ∈ R tal que aba = a. Pruebe:
(a) R no tiene divisores de cero.
(b) bab = b.
(c) R tiene unidad.
(d) R es un anillo de divisi´on.
Soluci´
on:
(a) Si ax = 0 (o xa = 0) con a = 0 entonces axa = 0 · a = 0, sabemos
que existe un u
´ nico b tal que aba = a luego
a = aba = aba + axa = a(b + x)a
porunidad de b implica que b = b + x ⇒ x = 0. Luego, R no tiene
divisores de cero.
(b) Basta notar que
0 = aba − a = b(aba − a) = baba − ba = (bab − b)a
como a = 0 y R no tiene divisores de cero por (a) implica que bab = b.
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(c) Dado a ∈ R con a = 0 existe un u
´ nico b ∈ R tal que aba = a.
Sea x ∈ R entonces xaba = xa y como R no tiene divisores de cero
entonces vale la ley de cancelaci´on entoncesxab = x y ab es unidad
izquierda. Similarmente, aba = a ⇒ abax = ax ⇒ bax = x y ba es
unidad derecha.
(d) Como la unidad derecha es igual a unidad izquierda, entonces tenemos
que ab = ba = 1 de donde b = a−1 y R es anillo de divisi´on.
8. Sea R el conjunto de todas las matrices 2 × 2 sobre el cuerpo complejo C
de la forma
z w
,
−w z
donde z, w son el conjugado complejo de z y w respectivamente...