Animales

Es posible que la idea original de tal hilo de pensamiento y de demostración esté implicita en el proceso de antanairesis con el que, según O.Becker y otros (Cf. O.Becker, Grösse und Grenze derMathematischen Denkweise, Karl Alber Verlag, 1959; trad. esp. Rialp, 1969) se procedía originariamente a la demostración de la irracionalidad de raíz de 2. El proceso aparece muy claramente sugerido por lasiguiente figura:
Si l1=EF y d1=EC son lado y diagonal de un cuadrado, entonces DC=l2=l1+d1 y AC=d2=d1+2l1 son también lado y diagonal de otro cuadrado. El proceso de antanairesis es efectivamentela vuelta atrás del proceso de construcción de los pares de números lado y diagonal. En realidad, desde el punto de vista matemático es mucho más razonable pensar que el camino de las ideas fue elinverso, es decir, a fin de hallar la unidad común, si existe, capaz de medir al tiempo lado l2 y diagonal d2, era natural substraer de la diagonal el lado l2, obteniendo así CF y luego tratar de hallarla unidad común de CF=l1 y DC=d2, restando CF=EF=DE de DC para obtener así EC=d1. Al tratar de obtener la unidad común de EC=d1 y FC=l1 observamos que estamos en las condiciones iniciales pues d1 y l1son diagonal y lado de un nuevo cuadrado. El proceso no acaba nunca y esto viene a demostrar la no existencia de tal unidad común. La vuelta atrás de esta antanairesis aplicada al cuadrado fueprobablemente la motivación del método de construcción de los números lado y diagonal.

El proceso de antanairesis que hemos seguido no es otra cosa que la versión geométrica del algoritmo de Euclidespara la obtención del máximo común divisor de dos números (VII, 33). Así, tanto por la estructura lógica de los libros VII y VIII de los Elementos como por consideraciones históricas, parece razonableconcluir que los pitagóricos, en particular probablemente alguno de los matemáticos anónimos del siglo V conoció y estructuró estos dos algoritmos de una brillantez y profundidad que aún hoy día nos...