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LA DIFERENCIAL COMO APROXIMACIÓN AL INCREMENTO

Ahora vamos a utilizar la diferencial para hacer aproximaciones. Estaaproximación está basada
en la interpretación geométrica que acabamos de dar de la diferencial.

EJEMPLO 1

Aproxime con diferenciales el valor de

Consideremos la función: y = =x1/2
Sabemosque la raíz cuadrada de 400 es 20.
Podemos utilizar este valor para aproximar el valor de la raíz cuadrada de 402.
Primero encontramos la diferencial de la función:






Para este casohacemos =2, y x=400.
Esto es así porque x + = 400 + 2 = 402.
Entonces, sustituyendo los valores en la diferencial obtenemos:





Ahora, y + dy = 20 + 0.05 = 20.05
El valor exacto a 7 decimaleses: = 20.0499377


EJEMPLO 2


Aproxime con diferenciales el valor de25.2.

De nuevo, consideramos la función y = x = x1/2
Ya sabemos que la diferencial correspondiente es:





Alsustituir= 0.2, y x= 25 en esta fórmula, obtenemos:






De manera que 25 + dy = 5 + 0.02 = 5.002.
El valor arrojado por la calculadora científica es de: 5.019960159.



EJEMPLO 3

Aproximecon diferenciales la raíz cúbica de 28.

Ahora consideramos la función: y = = x 1/3
Sabemos de antemano que la raíz cúbica de 27 es 3. Esto sugiere que utilicemos=1 yx=27.
Ahora encontramos ladiferencial de la función:






Sustituyendo los valores de las incógnitas encontramos el valor buscado:








Entonces, de acuerdo a lo sugerido, tenemos que:




Podemosverificar la exactitud del resultado elevándolo al cubo:



EJEMPLO 4
Aproxime la raíz cúbica de 0.009

Ahora hacemos x = 0.008 (porque la raíz cúbica de 0.008 es 0.2) y = 0.001
Ya sabemos quela diferencial de la función es:


Utilizando los valores conocidos obtenemos:


Entonces,



Elevando al cubo este resultado, encontramos que:



EJEMPLO 5
Aproxime con diferenciales...