Anova

Supòsits a la metodologia ANOVA. Disseny amb efectes aleatoris

Departament d’Estadística

Supòsits de l’ANOVA 1 factor
• • • •
Aleatorietat = cada mostra és una mostra aleatòria simple de la seva població Homocedasticitat = igualtat de variàncies en tots els tractaments Normalitat dels residus Independència de les observacions.
un disseny balancejat pot esmorteir en part l’impacte que tésobre el nivell de significació real les desviacions moderades de la homocedasticitat:

Departament d’Estadística

2

Test d’hipòtesis d’homocedasticitat


Hi ha diferents tests per comprovar la homocedasticitat, per exemple, el test de Bartlett o el test de Levene. H0: els grups presenten variàncies homogènies H1: els grups no presenten variàncies homogènies El test de Bartlett(en.wikipedia.org/wiki/Bartlett’s_test) requereix que les dades siguin normals. El test de Levene (http://en.wikipedia.org/wiki/Levene_test) és més robust a desviacions de la normalitat. MINITAB fa els dos testos. En R, tenim les funcions bartlett.test (package stats, es carrega per defecte) i leveneTest (package car)

 





Departament d’Estadística

3

Validació gràfica igualtatvariàncies
yij     i   ij  i   ij
Dades:
mostra
Amb dades de l’exemple 2 (productivitat mitjana per hora)

i  1, , a;

j  1,  , ni
Residus:
2,6 – 2,7 = – 0,1

A 2,6 2,1 3,5 2,6

B 3,2 2,7 3,9 3,4 3,3

C 2,6 2,1 3,1 2,7 2,625

A -0,100 -0,600 0,800 -0,100

B -0,100 -0,600 0,600 0,100

C -0,025 -0,525 0,475 0,075

mitjanes

2,7

3,1 – 2,625 = 0,475

Departamentd’Estadística

4

Residus enfront de valors previstos
Representem els residus respecte els valors previstos per cada tractament:
0,75 0,50

residus

0,25 0,00

-0,25 -0,50

2,6

2,7

2,8

2,9 3,0 valors previstos

3,1

3,2

3,3

No sembla que la variabilitat augmenti o disminueixi amb el nivell de la resposta: s’acompleix el supòsit d’igualtat de variancespoblacionals

Departament d’Estadística

5

Comprovació gràfica igualtat variàncies
Bé! La variabilitat es manté constant a mesura que augmenta la resposta. Malament! Hi ha heterocedasticitat. La variabilitat augmenta a mesura que augmenta la resposta.

Departament d’Estadística

6

Normalitat dels residus


La normalitat dels residus és un altre requisit. En el model d’un factor elsresidus corresponen a restar a cada observació la mitjana del seu grup
∙



Malgrat existeixen en la bibliografia testos de normalitat (i.e. ShapiroWilks) és més informatiu en mostres petites traçar un qq-plot el test F és robust front a desviacions moderades de la normalitat si els residus tenen una distribució simètrica. L’aleatorització dels tractaments és una garantia addicional.

Departament d’Estadística

7

QQ-plot

Departament d’Estadística

8

Independència


Existeixen en la bibliografia testos que permeten per exemple identificar la presencia de ratxes. No poden testar de forma absoluta la independència de les mostres.



La millor forma de garantir la independència és amb un model adient de mostratge i amb l’aleatorització prèvia a l’assignaciódels tractaments i també, si s’escau, en el moment de la lectura de la variable resposta.

Departament d’Estadística

9

Què fer si les variàncies no són iguals?
Hi ha diverses possibilitats:








Transformar les dades. Sovint, fer el logaritme de les dades ajuda a estabilitzar la variància. Ponderar les observacions. Es pot donar més pes a les dades dels tractaments quetenen menys variància i menys pes als tractaments amb més variància. Això es fa abordant l’anàlisi de la variància des de la perspectiva dels models lineals, amb una regressió amb pesos (weighted regression). Fer servir mètodes no paramètrics. En particular, l’equivalent no paramètric de la taula ANOVA d’un factor és el test de KruskalWallis. Fer servir una versió de la taula ANOVA (Welch ANOVA)...