Anova

2. Estadística bàsica

2.3. ANàlisi de la VAriància

ANOVA

Mercè Granados

Ampliació de Química Analítica

ANOVA

ANOVA: Comparació de més de dues mitjanes a partir de
l’estudi de variàncies (s2)
Mercè Granados

Ampliació de Química Analítica

1

ANOVA

Mercè Granados

Ampliació de Química Analítica

ANOVA: Requisits per a l’aplicació

Les sèries de dades sónindependents
Les dades que comparem provenen de poblacions
que tenen una distribució normal
Les variàncies de les sèries de dades que comparem
són homogènies, no difereixen significativament

Mercè Granados

Ampliació de Química Analítica

2

ANOVA d’un factor
7 laboratoris analitzen aflatoxina M1 en una mostra
de llet utilitzant el mateix mètode d’anàlisi.

A
B
C
D
E
F
G

1,64,6
1,2
1,5
6
6,2
3,3

2,9
2,8
1,9
2,7
3,9
3,8
3,8

3,5
3
2,9
3,4
4,3
5,5
5,5

1,8
4,5
1,1
2
5,8
4,2
4,9

2,2
3,1
2,9
3,4
4
5,3
4,5

ANÀLISI DE LA VARIÀNCIA
Hi ha diferències entre les mitjanes dels diferents laboratoris?

En aquest cas hi ha un factor controlat (laboratori) que podria provocar
diferències entre els resultats
Mercè Granados

Ampliacióde Química Analítica

ANOVA d’un factor
r laboratoris analitzen una mostra. Cada laboratori fa n replicats. Hi ha r n dades
Laboratori

i: 1….r

Rèplica

j: 1…n

replicats
n

Lab 1

x11...

M
Lab i

x1n

xi1...

xin

xr1...

xrn

M

M1
M
Mi

Mitjana laboratori i:

Mi =

mitjana global:

Mr

r

n

∑ (x

i=1

k =1

r

∑ (M

SSL = n

i

−MG )

2

ik

− MG )

2

Mitjana global:

graus llibertat

r

n

∑ ∑ (x
i =1

Mercè Granados

k =1

ik

− Mi )2

n

∑∑
i=1

k =1

x ik

nr
variàncies

ssG
rn −1

rn–1

2
sG =

r–1

2
sL =

r(n – 1)

s2 =
aleat

i =1

SS aleat =

MG =

x ik

n

MG

Sumes de quadrats de diferències

ssG = ∑

k =1

r

M

Lab r

∑ssL
r −1
ssaleat
r(n − 1)

Ampliació de Química Analítica

3

ANOVA d’un factor

2
H0 : s2
factor = saleat

s2
F = factor
s2
aleat

2
H1 : s2
factor > saleat

Comparem F amb Ftaules (α (1 cua), gl factor, gl aleat)
FFtaules → H1: El factor controlat (el laboratori) introdueix
variació addicional.

Mercè Granados

Ampliació de Química Analítica

ANOVA d’un factor
7laboratoris analitzen aflatoxina M1 en una mostra de llet utilitzant el mateix
mètode d’anàlisi. Hi ha diferències entre les mitjanes dels diferents laboratoris?

A
B
C
D
E
F
G

1,6
4,6
1,2
1,5
6
6,2
3,3

ANÀLISI DE LA VARIÀNCIA
Factors
SQ
Laboratori
45,09
E Aleatori
22,54
Total

Mercè Granados

67,63

2,9
2,8
1,9
2,7
3,9
3,8
3,8

3,5
3
2,9
3,4
4,3
5,55,5

1,8
4,5
1,1
2
5,8
4,2
4,9

2,2
3,1
2,9
3,4
4
5,3
4,5

6,00
28,00

Variància
7,51
0,81

F
9,33451642

α
1,1904E-05

gl

F crític
2,44526177

34,00

Ampliació de Química Analítica

4

ANOVA de 2 factors sense rèpliques
Ex: r laboratoris analitzen 1 mostra amb c mètodes
M1
x11
x21
xi1
xr1
MM1

Lab. 1
Lab. 2
Lab. i
Lab. r
Mitjana

M2
x12x22
xi2
xr2
MM2

Mj
x1j
x2j
xij
xrj
MMj

2

Mc
x1c
x2c
xic
xrc
MMc

Mitjana
ML1
ML2
MLi
MLr
Mglobal

2

Variància entre laboratoris:

(slab) = c ∑(Mi - Mglobal) / (r-1) = SSlab / (r-1)

Variància entre mètodes:

(smet) = r ∑(Mj - Mglobal) / (c-1) = SSmet / (c-1)

Variància global:

(sglobal)2 = ∑∑(xij - Mglobal)2 / (rc-1) = SSglobal / (rc-1)

Errorresidual:

SSresidual = SSglobal - SSlab - SSmèt

2

2

g. ll. = (rc-1) - ((c-1) + (r-1)) = (r - 1)(c - 1)

Mercè Granados

Ampliació de Química Analítica

ANOVA de 2 factors sense rèpliques

Font de variació
Entre laboratoris
Entre mètodes
Error residual
Global

Suma de quadrats
SSlab
SSmet

Graus de llibertat
(r-1)
(c-1)

Variància
SSlab / (r-1)
SSmet / (c-1)...