Antenas Fractales

ANTENAS FRACTALES
Dr. Daniel Mocencahua Mora
dmocencahua@ece.buap.mx
Jaime Oscar Tenorio Pearl
jaimetpearl@hotmail.com
Facultad de Ciencias de la Electrónica
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Edificio 129, Ciudad Universitaria
Av. San Claudio y 18 Sur, Col. San Manuel
Puebla, Pue., CP. 72590

RESUMEN

pequeña se tome tal sección, no tendrá menos detalles que
el todo. Lossiguientes son ejemplos típicos de fractales.

En este trabajo se mencionan las propiedades que tiene un
fractal. Se definen la carpeta y el triángulo de Sierpinskii
por medios geométricos iterativos y se verifica que son
fractales por medio de la métrica de Haussdorff.

3. EL CONJUNTO DE CANTOR

Se ilustra la importancia de dichos conceptos para la
electrónica por medio de su aplicación enantenas.

1. INTRODUCCIÓN

El fractal mas sencillo de obtener es sin duda el conjunto
de Cantor3. Para ello se extrae del intervalo [0,1] su tercio
central, a los dos tercios restantes se les extrae su tercio
central... y así sucesivamente. Si juntamos todos los
conjuntos obtenidos obtenemos el peine de Cantor, que a
continuación mostramos en su quinta iteración (Figura 1).

En losSistemas Móviles de Comunicaciones (Celulares,
Radio Teléfonos, etc) es de vital importancia el uso
racional del espacio. Sin embargo un elemento crucial del
sistema que utiliza mucho de ese espacio es la antena.
Una solución inesperada para este problema fue construir
Antenas Fractales, las cuales son más compactas y tienen
ciertas propiedades que las hacen preferibles a las antenastradicionales.

2. PRESENTANDO A LOS FRACTALES
La palabra fractal fue acuñada por Benoit Mandelbrot1 a
finales de los setenta, pero los objetos que hoy se aceptan
como fractales han sido conocidos por artistas y
matemáticos por siglos. Aunque la definición de
Mandelbrot, "Un conjunto cuya dimensión de Hausdorff2
no es un entero", es clara en términos matemáticos no lo
es de manera intuitiva, sinembargo se relaciona con el
fractal el concepto de la auto similitud: un objeto fractal
tiene auto similitud en el sentido de que secciones de él
son similares al todo de alguna forma. No importa que tan

Figura 1: Conjunto de Cantor.

4. EL COPO DE NIEVE DE KOCH
En 1890 Peano4 mostró como las Matemáticas pueden
traicionar el sentido común cuando se construyen curvas
que llenan elespacio. Hilbert5 desarrolló un construcción
similar para exhibir una curva que visita cada punto de un
cuadrado y que no es diferenciable en cualquiera de sus
puntos. La curva generada por Helge von Koch6 en 1904
es un ejemplo típico de las curvas definidas en ese tiempo
3

Alemán (1845-1918)
Italiano, (1858-1932)
1
5
Mandelbrot significa “pan de almendras” en alemán.
Alemán. (1862-1943)
26
Hausdorff significa “casa del pueblo” en alemán.
(1870-1924)
SEGUNDO CONGRESO NACIONAL DE ELECTRONICA, 24, 25 Y 26 DE SEPTIEMBRE DE 2002, CENTRO DE CONVENCIONES
WILLIAM O JENKINS, PUEBLA. PUE. MEXICO
4

y que ahora es un fractal clásico. Para construirla se toma
un segmento unitario y entonces se extrae el tercio
central, reemplazándole por dos segmentos de longitud
1/3. Por cadasegmento resultante se repite el
procedimiento: a cada segmento se le extrae su tercio
central y se sustituye por dos segmentos de un tercio del
original. Ahora bien, por cada etapa el total de la curva se
multiplica por 4/3. Esto implica que la "longitud" final de
la curva es infinita. Sin embargo, no es difícil verificar
que el área de la curva es finita (Figura 2). Es decir
tenemos unacurva de longitud infinita y de área finita.
Esta curva no es diferenciable en cualquiera de sus puntos
y contiene un número infinito de imágenes de si misma.
Por eso, no importa cuan cerca estén dos puntos de la
curva, siempre habrá una distancia infinita entre ellos.

3
4
 1  1 2

2 1 
3 1 
A + 3  + 3   + 3   + ... =
4
4
4  4 



2
3

 A  3  3 ...