Antiderivacion

Antiderivadas

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Unidad 7

Antiderivadas

7.1

Antiderivadas o integrales indefinidas.

Ahora estudiaremos en cierto sentido el problema inverso al de derivar. Es decir, dada una
función f queremos encontrar una función F tal que:
F´= f
Por ejemplo, para f(x) = 3x2, nos damos cuenta de que esta función es la derivada de F(x) =
x3, es decir F´(x) = f(x). Pero ¿Cómo es esto?.Puesto que al derivar una función potencia se disminuye en una unidad el exponente,
entonces para obtener F, se debe incrementar en una unidad el exponente, de manera que
F(x) = kx3, donde k es constante. Así
F′(x) = 3kx2 = f(x) = 3x2
de donde se observa k = 1.
Una función F como la del ejemplo anterior se llama antiderivada de la función f si:
F’ = f
(1)
Ejemplo 1.
La función F(x) = 7x3 +3x2 + 4x – 5. es tal que F′(x) = 21x2 + 6x +4. De
manera que si f(x) = 21x2 + 6x +4, entonces F(x) = 7x3 + 3x2 + 4x – 5 es
una antiderivada de f(x).
Notemos que G(x) = 7x3 + 3x2 + 4x + 35 también es una antiderivada de f(x). En realidad,
todas las funciones de la forma H(x) = 7x3 + 3x2 + 4x + C (C = constante), son antiderivadas
de f(x). En general, si F(x) y G(x) son antiderivadas de f(x)entonces
G(x) = F(x) + C.
(2)
Es decir, todas las antiderivadas de una función dada, difieren por una constante; la cual
está determinada por alguna condición, digamos, de todas las funciones F que satisfacen
(1) nos interesa sólo aquella cuya gráfica pase por el punto (x 0 , y 0 ).
Si F es una antiderivada de f, entonces F(x) es una solución de la ecuación
dy
= f(x)
(3)
dx
la cual podemosescribir como:
dy = f(x)dx.
(4)
La cual es la forma diferencial de la ecuación (3).
La operación de encontrar todas las soluciones de la ecuación (4) se conoce con el nombre
de antidiferenciación (encontrar la antiderivada general de f(x)) o integración y se denota
por el símbolo ∫. Así la solución de (4) está dada por
y = ∫ f ( x)dx = F(x) + C.
(5)
a

∫ f ( x)dx

se le llama integralindefinida de f con respecto a x, a f(x) se le llama

integrando y dx indica la variable con respecto a la cual se llevará a cabo la integración y se
llama variable de integración. Esquemáticamente tenemos:

∫ f ( x)dx
Símbolo
de
integral

Elaboró Mat. Gustavo Ortiz González

Integrando

variable
de
integración

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Unidad 7

La ecuación (5) indica encierto modo que las operaciones de derivación e integración se
pueden ver como operaciones inversas una de otra. Esto es porque al sustituir F´(x) por f(x)
en (5) tenemos que
∫ F ′( x)dx = F(x) + C.
Y derivando (5) se obtiene:

(

)

d
f ( x)dx = F´(x) = f(x).
dx ∫
Esto nos permite deducir algunas formulas de integración a partir del conocimiento de las
respectivas fórmulas dederivación.
La ecuación (1) se puede interpretar geométricamente como sigue: dado que F′(x) es la
pendiente de la recta tangente a la curva descrita por F(x) en el punto (x, F(x)), entonces f
puede considerarse la pendiente o inclinación que tiene la familia de curvas (2) en cualquier
punto. Físicamente, la ecuación (1) se interpreta como: Si F′(t) es la velocidad de un objeto
que se mueve conmovimiento rectilíneo, entonces F(t) es la posición del objeto en el
instante t.

7.1.1 Integrales elementales
Algunos resultados útiles sobre integración (que se pueden comprobar por derivación
directa) son:

∫ kdx = kx + C

1)

k y C son constantes

Para comprobarlo, veamos que d(kx + C) = d(kx) + d(C) = kdx + 0 = kdx.

∫

∫ dx

Es claro que, si k = 1, entonces 1(dx ) se escribe como∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx .

2)

y

∫ dx = x + c .

La integral de una constante por una función es simplemente la constante por la integral de
la función.
Si f 1 y f 2 son funciones definidas en un mismo intervalo, entonces

∫ ( f (x ) + f (x ))dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx.

3)

1

2

1

2

Es decir la integral de la suma de funciones es la suma de las integrales de...