antiderivacion

CURSO: CÁLCULO II
Tema :

Antiderivacion e integral indefinida

ANTIDERIVADA
Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual fuga el agua de un tanque
quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto tiempo. Un administrador
que conoce el costo marginal de una producción puede interesarse en deducir el costo
total de la producción. En cada caso, el problema es hallaruna función cuya derivada
sea una función conocida. Si existe tal función F, se le denomina una ANTIDERIVADA
de f.
Definición:
Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I, si:
F '( x)  f ( x) x  I
Ejemplo:
Sea f ( x) 

2
2
 f '( x) .
. Una antiderivada es F ( x)  4 x porque F '( x) 
x
x

Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I ,entonces la antiderivada más general
de f en I es:

F ( x)  C ;
Donde C es una constante arbitraria.
Ejemplos:
1. La antiderivada más general de f ( x)  sin( x) es F ( x)  C   cos( x)  C .
2. La antiderivada más general de f ( x)  x  2 es F ( x)  C 

2
x x  2x  C .
3

Definición:
Al conjunto de todas las antiderivadas se le llama INTEGRAL INDEFINIDA de y se
representa por: f ( x)dx  F ( x)  C
Ejemplos:
1.

 cos( x)dx  sin( x)  C

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Semestre 2014-I

2.

1

 x dx  ln( x)  C

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
Sean f , g funciones derivables, además k , C constantes, entonces tenemos:
1.

 kf (u)du  k  f (u)du

2.

  f (u)   g (u) du    f (u)du    g (u)du

3.

 0du  C

4. du  u  C

5.

 kdu  ku  C

6.

n
 u du 

7.



8.

 e du  e

u n 1
C
n 1

du
 ln u  C
u
u

u

C

au
 C , a  0, a  1
9.  a du 
ln(a)
u

10.  sin(u )du   cos(u )  C
11.  cos(u )du  sin(u )  C
12.  cos(ku )du 

sin(ku )
C
k

13.  sin(ku )du  

cos(ku )
C
k

14.  tan(u )du   ln cos(u )  C
15.  c tg (u )du  lnsin(u )  C

u  
16.  sec(u )du  ln sec(u )  tan(u )  C  ln tan     C
2 4

Facultad de Ingeniería

Semestre 2014-1

u
17.  csc(u )du  ln csc(u )  ctg (u )  C  ln tan    C
2
18.  sec2 (u )du  tan(u )  C
19.  csc2 (u )du  ctg (u )  C
20.  sec(u ) tan(u )du  sec(u )  C
21.  csc(u )ctg (u )du   csc(u )  C

du
1
u
du  arctan    C
2a
a
a

22.

u

2

23.

u

2

24.

a

2

25.



u
 arcsin    C
a
a u

26.



27.



28.
29.

du
1
ua

ln
C
2
a
2a u  a
du
1
ua

ln
C
2
u
2a u  a
du

2

2

du
u a
2

2

du
u a
2

2

 ln u  u 2  a 2  C

 ln u  u 2  a 2  C



a 2  u 2 du 

u 2
a2
u
a  u 2  arcsin    C2
2
a



u 2  a 2 du 

u 2
a2
u  a 2  ln u  u 2  a 2  C
2
2

30.



u 2
a2
2
u  a du 
u  a  ln u  u 2  a 2  C
2
2

31.

u
1
 arcsin    C , a  0
 u u 2  a2 a
a

32.

2

2

du

u

du
a2  u 2



Facultad de Ingeniería

1 ln(a)  a 2  u 2
C
a
u

Semestre 2014-1

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACION DIRECTA:Se trata aquí de lograr las primitivas en forma inmediata con el conocimiento de
derivadas y la aplicación de la tabla básica considerando algunos recursos algebraicos y
las propiedades señaladas. Algunas veces, antes de realizar la integral
correspondiente, se procede a simplificar la expresión por si de esa forma se puede
integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades delas integrales, se
descomponen en otras más sencillas, transformándose en una simple suma de
integrales más elementales.
Ejemplos:

x6
1.  6 x dx  6 x dx  6  C  x 6  C
6
5

5

2.

3
2
 3x  5x  3x  4  dx  3

3.




4.



2

x4
x3
x2
 5  3  4x  C
4
3
2





x  3 dx   x  2 3 x  3 dx   xdx  2 3  xdx  3 xdx

x2 4 3 32
...