Antiderivada

MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida








Objetivo:
Se pretende que el estudiante encuentre algebraicamente antiderivadas
1.1 DEFINICIÓN
1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 1.2.1 FORMULAS
1.2.2 PROPIEDADES
1.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA
1.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
1.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
1.2.6 INTEGRALES DE FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS
1.2.7 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
1.2.8 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES.
FRACCIONES PARCIALES
1.2.9 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
TRIGONOMÉTRICAS


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En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la rectatangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de
la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue
tratado en cálculo diferencial. El problema del cálculo del área bajo una
curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales
expondremos en este curso. Sin embargo empezaremos en este capítulo
hallando antiderivadas y en elsiguiente capítulo utilizaremos
antiderivadas para el propósito del cálculo integral.

1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL
INDEFINIDA

Llamamos a una antiderivada, primitiva o F
integral indefinida de en el intervalo f I , si
)()( xfxFDx = es decir )()´( xfxF =
1.1.1 Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una
antiderivada es la siguiente:

∫ +=CxFdxxf )()(
1.1.2 Teorema

Si , )´()´( xGxF = ( )bax ,∈∀ entonces existe una
constante tal que C CxGxF += )()( , ( )bax ,∈∀
Demostración:
Sea )()()( xGxFxH −= definida en un intervalo entonces ()ba,
)´()´()´( xGxFxH −= . Por Hipótesis, como )´()´( xGxF = entonces 0)´( =xH ,
. ()bax ,∈∀
Como H es derivable ( )bax ,∈∀ , entonces de acuerdo el teorema del valormedio para
derivada, ( )baxxx ,),( 10 ⊆∈∃ tal que xx
xHxHxH −
−=
1
10
)()()´( . Haciendo 0)´( 0 =xH
tenemos 0)()(
1
1 =−
−
xx
xHxH es decir CxHxH == )()( 1 .
Por lo tanto CxGxF =− )()(



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1.2 INTEGRACIÓN.
Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el
proceso contrario de la derivación, como yase habrá notado. Esto no es
tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a
continuación.
En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a
poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo
hacia en el calculo de derivadas.

1.2.1 Formas (Fórmulas) Estándares de Integrales
1. ∫ += Cxdx
2. ∫ ++=
+
Cn
xdxx
nn
1
1
;1−≠n
3. ∫ += Cxdxx ln1
4. ∫ += Cedxe xx
5. ∫ += Ca
adxa
xx
ln
6. ∫ +−= Cxxdx cossen
7. ∫ += Cxxdx sencos
8. ∫ += Cxxdx tgsec2
9. ∫ +−= Cgxxdx cotcsc2
10. ∫ += Cxxdxx sectgsec
11.
∫ +−= Cxgdxx csccotcsc
12. CxCxxdx +=+−=∫ seclncoslntg
13. ∫ += Cxgxdx senlncot
14. ∫ ++= Cxxxdx tgseclnsec
15. ∫ +−= Cgxxxdx cotcsclncsc
16. ∫ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−
Caxdx
xa
arcsen1
22
17. ∫ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=+ Ca
x
adxxa arctg11
22
18. Cx
a
aCa
x
adx
axx
+⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛=+⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛=
−∫ arccos1arcsen11
22
19. ∫ += Cxxdx coshsenh
20. ∫ += Cxxdx senhcosh
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Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de
acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas.Ejemplo 1
Calcular ∫ dxx 2
SOLUCIÓN:
Sería cuestión de emplear la formula 2.
CxCxdxx +=++=
+
∫ 312
3122


Ejemplo 2
Calcular ∫ dxx
1
SOLUCIÓN:
Sería cuestión de emplear la formula 2.
Cxdxxdxx +== +−
+−−
∫∫ 1
1
21
2
1
2
1
1


Ejemplo 3
Calcular ∫ + dxx 24
1
SOLUCIÓN:...