Antiderivada

Antiderivada e Integral Indefinida -UNC

Ingº M.Sc. Juan Julca Novoa

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL

ANTIDERIVADA La matemática contiene varios pares de operaciones inversas, como: adición y sustracción, multiplicación y división, elevación a un exponente y extracción de una raíz y otras. Anteriormente estudiamos la derivación, ahora su operación inversa es laantiderivada (que luego se llamará integral indefinida). DEFINICIÓN: Se llama a una función F antiderivada (primitiva) de la función f, si para todo “x” en el dominio de f, se cumple que . La antiderivada o función primitiva, es la operación inversa de la derivación, es decir, que dada una función f(x) aquella consiste en encontrar una función F(x) tal que . Las antiderivadas no son únicas, yaque la derivada de una constante es cero. Si F(x) es una antiderivada de f(x), también F(x) + C para todo número real C. Por ejemplo, si f(x) = 2x, entonces algunas antiderivadas son: F(x) = x2 + 2 F(x) = x2 + 1 F(x) = x2 F(x) = x2 - 1 F(x) = x2 - 2 F(x) = x2 + C He aquí las principales primitivas:
Función F: primitiva de f función f: derivada de F

F ( x) 

x n 1 C n 1

f ' ( x)  x n ,para f ' ( x)  e x
f ' ( x)  1 x 1 f ' ( x)  n , para x
f ' ( x)  sin( x)

n  1

F ( x)  e x  C
F ( x)  ln( x)  C

F ( x) 

x1 n C 1 n

n  1

F ( x)   cos(x)  C

F ( x)  sin( x)  C

f ' ( x)  cos(x)

ax C ln  (a) 3 2 F ( x)  x C 3 F ( x)  ax  C F ( x) 
F ( x)  arctan( x)  C

f ' ( x)  a x
f ' ( x)  x
f ' ( x)  a

f ' ( x) 

1 1  x2Según lo que se ha expuesto hasta aquí, tenemos que: Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(x) + C se llama la integral indefinida de f(x). El adjetivo indefinida se usa porque la constante C es arbitraria o indefinida. -1-

Antiderivada e Integral Indefinida -UNC NOTACIÓN ó La notación

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es la más utilizada universalmente. INTEGRAL INDEFINIDADEFINICIÓN.- Si F (x ) es una función primitiva de la función f (x ) , la función F (x ) +C, C   , se llama integral indefinida de la función f (x ) y se denota por

 f ( x)dx .
O sea según la definición:  f ( x)dx = F ( x)  C  i) ii) donde:
d d [ F ( x)  C ]   f ( x)dx  f ( x) dx dx

ó

d[ F ( x)  C]  d  f ( x)dx  f ( x)dx
= = = = = Símbolo o signo integral Función integrandoExpresión bajo el signo integral integral indefinida constante arbitraria de integración indefinida (es independiente de x).

 f (x ) f ( x ) dx F ( x)  C C

NOTAS: i) El significado geométrico de la integral indefinida está dado por una familia de curvas; cada una de las cuales se obtiene mediante el desplazamiento de una curva, paralelamente a sí misma, hacia arriba o hacia abajo. F ( x) x  4 Así por ejemplo:
2 5

y

F4 ( x)  x 2  3
F3 ( x)  x 2  2

F2 ( x)  x 2  1

4 3 2 1 0 -1 2

F1 ( x)  x 2
F6 ( x)  x 2  1 F7 ( x)  x 2  2

F ( x)  x 2  C

x

-2-

Antiderivada e Integral Indefinida -UNC ii)

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iii)

iv)

No toda función f (x ) tiene primitiva o integral indefinida. Así por ejemplo las funciones: 2 senx cos x1 ; f1 ( x)  e  x , f 2 ( x)  , f 3 ( x)  , f 4 ( x)  1  k 2 senx , f 5 ( x)  x x ln x o sea las integrales indefinidas: 2 senx cos x dx  1  k 2 senx dx , no se dx ,  dx ,  e  x dx ;   x x ln x pueden expresar mediante un número finito de funciones elementales. Afirmemos, por ahora sin demostración que toda función f (x ) continua x  [a, b] tiene una función primitiva y , por lotanto, una integral indefinida. El procedimiento que permite hallar la función primitiva de una función f (x ) se llama integración de la función f (x ) .

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 1º) Si f1 ( x)

 f1 ( x)  f 2 ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx

y

f 2 ( x) son funciones continuas x  [a, b] ; entonces:

2º)

Si k es una función constante y f (x ) una función...