antiderivada

UNIDAD II La integral como antiderivada 1

LA INTEGRAL COMO ANTIDERIVADA
La integración tiene dos interpretaciones distintas 1) como procedimiento inverso
de la diferenciación, y 2) como método para determinar el área bajo una curva.
Cada una de estas interpretaciones tiene numerosas aplicaciones, como se ira
mostrando en el desarrollo del con concepto de integración.

En primer termino,la integración puede considerarse el proceso inverso de la
diferenciación, esto es, si una función es derivada y luego se integra la función
obtenida, el resultado es la función original, siempre y cuando se especifique de
manera precisa la constante de integración; ya que de otra forma el resultado
puede diferir de la función original en una constante.

En este contexto la integración seconsidera como: la operación de obtener una
función cuando se conoce su derivada o tasa de cambio.

En un segundo aspecto, también puede definirse como el proceso de encontrar el
valor limite de una suma de términos cuando el número de éstos crece
indefinidamente y el valor numérico de cada termino de aproxima a cero, este es
el caso en el que la integración se interpreta como la determinacióndel área bajo
una curva. El cual será desarrollado al tratar el tema de integral definida.

En uno u otro contexto, la integración requiere operacionalmente el que se
determine una función cuando se ha dado o se conoce su derivada.

En este texto analizaremos la primera de las dos interpretaciones, como proceso
inverso de la diferenciación, que es el de “encontrar la función cuando seconoce
su derivada”.

Iniciaremos la exposición obteniendo antiderivadas sencillas, tomando como base
las primeras reglas de derivación, a continuación examinando otras reglas de
derivación elaboraremos una primera tabla de integrales inmediatas y por último

Elaborado por: ELEAZAR GOMEZ LARA

UNIDAD II La integral como antiderivada 2

trabajaremos con algunas propiedades esenciales a laintegral definida, que en
unión con las integrales inmediatas permitirá encontrar la integral indefinida o
antiderivada general de una función cuya estructura es relativamente simple.

LA ANTIDERIVADA
Al proceso de obtención de una función a partir de su derivada se denomina
antiderivación o integración.
Es decir el proceso de integración, consiste en determinar la función cuya
derivada seconoce; con lo que el objetivo principal radica en hallar la función que
da origen a esta derivada.

Si a un número positivo le calculo su raíz positiva, al elevar esta raíz al
cuadrado obtengo el número positivo original, es decir la segunda operación anula
a la primera, ya que me permite recuperar el número original. Por lo que decimos
que estas dos operaciones son operaciones inversas.Múltiples ramas de las
matemáticas contienen pares de operaciones inversas entre sí, como: la adición y
la sustracción, la multiplicación y la división, la exponenciación y la radicación, los
logaritmos y los antilogaritmos.
Durante el primer curso de Cálculo se estudio la derivación; y el segundo
curso incluye su inversa que es la antiderivación.

Comenzaremos dando una definición de lo quevamos a considerar como
antiderivada:

Definición. Llamamos a F(x) una antiderivada de f en el intervalo I

si

dF ( x)
= f ( x) en I, es decir, si F´(x)=f(x) para toda x en I.
dx

Elaborado por: ELEAZAR GOMEZ LARA

UNIDAD II La integral como antiderivada 3

Hemos usado la frase una antiderivada en vez de la antiderivada en la
definición, mediante los siguientes ejemplos exponemosel porqué la llamamos de
esa forma.
EJEMPLO 1. Dada la función f ( x) = 4 x 3 , ¿Qué función al derivarla nos da f ( x) en
el intervalo (−∞, ∞) ?, es decir, ¿Cuál es la antiderivada de f ( x) = 4 x 3 en el
intervalo (−∞, ∞) ?
Solución. Buscamos una función F que satisfaga la igualdad

dF ( x)
= 4 x3 para
dx

toda x real. Al utilizar nuestro conocimiento sobre derivación, sabemos que...