Antiderivadas - Integración - Métodos De Integración

onCLASE 1. Cálculo II FUNCIÓN PRIMITIVA O ANTIDERIVADA

DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA: Sea una función definida en un intervalo . Una función se llama primitiva o antiderivada de en si es diferenciable y para todo . Ejemplos: 1. Sea 2. Si 3. Si 4. Si

, encontrar , cuáles son sus primitivas , cuáles son sus primitivas.

TEOREMA 1. Si son dos funciones primitivas de diferencia entre ellas esuna constante. Demostración: (Clase). NOTACIÓN PARA ANTIDERIVADAS. Si es una antiderivada de ecuación

en in intervalo , entonces la

entonces se dice que

en una solución de la

Cuando se resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente . La operación de encontrar todas las soluciones (la antidarivada general de ) de esta ecuación se denominaINTEGRACIÓN y se denota por el símbolo La solución general de la ecuación se denota por . DEFINICIÓN 2. La notación es una primitiva de . Esto es,

donde

es una constante arbitraria, significa que para todo en el dominio de .

DEFINICIÓN 3. (Integral indefinida) Si es una función primitiva de , la expresión indefinida de la función y se denota por el símbolo TEOREMA 2. Reglas Básicas deIntegración 1. 2. 3.

se llama integral .

1

4.

5.
Ejemplos: Encontrar la integral de las siguientes funciones 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. = 9. 10. 11. 12.

TEOREMA3. REGLA DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Sea una función diferenciable cuyo rango es un intervalo , función definida en y una primitiva de en Entonces:

y sea

una

Demostración: (Clase) EJEMPLOS: 1. Sea

una funcióndiferenciable. Demuestre que:

2. Calcule las siguientes integrales indefinidas: =

ESTRATEGIA PARA INTEGRAR POR SUSTITUCIÓN: a. Escoger una sustitución . Suele ser conveniente elegir la parte interna de una función compuesta, tal como algo que esté elevado a una potencia. b. Hallar c. Reescribir la integral en términos de la variable . d. Evaluar la integral resultante en términos de e.Cambiar por para obtener la primitiva en términos de .

2

CLASE 2. ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

A la ecuación

o al diferencial

se le llama ecuación diferencial de

primer orden. Resolver una ecuación diferencial es encontrar todas las funciones que satisfaga la ecuación diferencial. Si es una primitiva de también lo es . Entonces podemos decir , cuando es

quetodas las funciones que satisfacen la ecuación diferencial la primitiva de , son de la forma:

Esta ecuación se llama solución general de la ecuación diferencial y representa una familia de funciones dependientes de una constante arbitraria y se llama familia de un parámetro. Las gráficas de estas funciones forman una familia de curvas de un parámetro en un plano, y por cualquier punto pasa una solacurva de la familia. En muchas aplicaciones de la integración se nos da suficiente información como para determinar una solución particular. Para hacerlo, solamente necesitamos conocer el valor de para un valor de . A esta información se le llama condición inicial o

condición de frontera.
Ejemplos: 1. Sea la ecuación diferencial a. Halle la solución general b. Halle la solución particular sicuando y calcular la .

2. Hallar la solución general de la ecuación solución particular que satisface la condición inicial 3. Encuentre la solución general a la ecuación diferencial 4. En cualquier punto de una curva se verifica que

, y la es .

ecuación de la recta tangente a la curva en el punto Encuentre la ecuación de la curva APLICACIONES A LA FÍSICA: Movimiento rectilíneo.Ejemplo1. Se lanza una bola hacia arriba con velocidad inicial de 64pies/s y desde una altura inicial de 80pies. a. Hallar la función posición que describe la altura en función del tiempo . b. ¿Cuándo llega la bola al suelo? 3

Ejemplo 2. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de . ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en llegar al suelo y con qué...