antiderivadas
Antiderivadas y Regla de la Cadena para antiderivadas
Para recordar:
i. Una funci´n F se denomina antiderivada de la funci´n f en un intervalo I si F 0 (x) = f (x) para todo valor de x en I .
o
o
ii. El s´
ımbolo
Z
denota la operaci´n de antiderivaci´n y se escribe
o
o
Z
f (x)dx = F (x)+ C , donde F (x)+ C es una familia de antiderivadas.
N´tese que para distintosvalores de C se obtienen antiderivadas distintas.
o
iii. La antiderivaci´n es la operaci´n para determinar el conjunto de todas las funciones que tienen una derivada dada.
o
o
iv. La llamada Regla de la Cadena para antiderivadas es util cuando el integrando contiene una funci´n compuesta. Ya indentificadas
´
o
las funciones que forman la composici´n y el orden en que fueron aplicadas, sehace el cambio de variable u = g (x), donde g (x) es la
o
funci´n que se aplic´ primero en la composici´n.
o
o
o
1. Encontrar las antiderivadas de f (x) = 2x + 1 que pasan por los puntos (2, 4) y ( 1, 6), respectivamente, y graf´
ıcarlas en el mismo
plano coordenado.
2. Deducir una f´rmula para evaluar
o
qu´.
e
Z
axn (bxn+1 + d)m dx. ¿A qu´ valores hay que imponerles restricciones?Decir a cu´les y por
e
a
3. Evaluar las siguientes integrales.
i)
Z
Z
iv)
vii)
x)
3x
( x2
Z
Z
xiii)
1.2
p
3
4 dx
ii)
4x + 4)4/3 dx
v)
5
cos x (2 + sen x) dx
Z
Z
viii)
2
xi)
Z
xiv)
x2 + 2 x
dx
3 + 3 x2 + 1
x
p
p
x2
9 dx
1+
vi)
1 dx
3 x x2
2
x(x + 1)
Z
iii)
t
dt
t+3
ZrZ
(tan 2x + cot 2x) dx
p
x3
p
4
ix)
2 x2
x4
dx
sen x sen (cos x) dx
xii)
xv)
Z
Z
Z
p
s
ds
3s2 + 1
6x2 sen x3 dx
2 sen x
Z⇣
Z
1
t+
t
p
3
1 + cos x dx
⌘ 3/ 2 ✓
t2
1
t2
◆
dt
sec x tan x cos(sec x) dx
Primer y Segundo Teorema Fundamental del C´lculo
a
Enunciado del Primer Teorema Fundamental delC´lculo:
a
Zx
Si f es continua en [a, b] entonces F (x) =
f (t)dt es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) y su derivada es f (x);
a
F 0 ( x) =
d
dx
Z
x
f (t)dt = f (x).
(1.1)
a
Enunciado del Segundo Teorema Fundamental del C´lculo:
a
Si f es continua es cada punto de [a, b] y F es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces
Z
b
f (x)dx = F (b)F ( a)
(1.2)
a
La siguiente f´rmula general (Regla de Leibniz) resultar´ de utilidad para resolver algunos ejercicios:
o
a
d
dx
Z
u2 ( x )
u1 ( x )
f (t)dt = f (u2 (x)) · u0 (x)
2
f (u1 (x)) · u0 (x)
1
N´tese que si u1 (x) = a y u2 (x) = x, se obtiene la ecuaci´n 1.1.
o
o
Las siguientes son conclusiones del Teorema fundamental del C´lculo:
a
i. Los procesos deintegraci´n y derivaci´n son mutuamente inversos.
o
o
ii. Cada funci´n continua f tiene una antiderivada F .
o
dy
iii. La ecuaci´n diferencial
o
= f (x) tiene una soluci´n (precisamente la antiderivada y = F (x)) para cada funci´n continua f .
o
o
dx
1
(1.3)
Para encontrar el area entre la gr´fica de y = f (x) y el eje x sobre el intervalo [a, b] usando antiderivadas (ya nosumas de Riemann y
´
a
sin que sea necesario que f sea no negativa en [a, b]), seguir los siguientes pasos:
i. Subdividir [a, b] con los ceros de f .
ii. Integrar f sobre cada subintervalo.
iii. Sumar los valores absolutos de las integrales.
1. Evaluar las siguientes integrales:
i)
Z
1
0
Z
iv)
|x
2
1
0
Z
xvi)
Z
xix)
xxii)
v)
3
p
1
2 t2 + 8⇣
dt
x
1/ 3
(1
Z
⇡ /3
0
Z
xx)
tan ✓
p
d✓
2 sec ✓
(sen 2x + cos 3x)dx
sen ✓ + sen ✓ tan2 ✓
d✓
sec2 ✓
sec2 (⇡
Z
Z
xii)
2 ✓ ) d✓
xv)
3⇡ / 8
1
t
0
1
0
3
y 2 + 2y
dy
y 3 + 3y 2 + 4
p
(x + 2) x + 1 dx
0
1/ 2
sec2
0
Z
Z
3 senx cos x
p
dx
1 + 3 sen2 x
xxi)
p
10 v
dv
(1 + v 3/2 )2
p
3
0...
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