antiderivadas

Páginas: 9 (2118 palabras) Publicado: 8 de abril de 2013
1.1

Antiderivadas y Regla de la Cadena para antiderivadas

Para recordar:
i. Una funci´n F se denomina antiderivada de la funci´n f en un intervalo I si F 0 (x) = f (x) para todo valor de x en I .
o
o
ii. El s´
ımbolo

Z

denota la operaci´n de antiderivaci´n y se escribe
o
o

Z

f (x)dx = F (x)+ C , donde F (x)+ C es una familia de antiderivadas.

N´tese que para distintosvalores de C se obtienen antiderivadas distintas.
o
iii. La antiderivaci´n es la operaci´n para determinar el conjunto de todas las funciones que tienen una derivada dada.
o
o
iv. La llamada Regla de la Cadena para antiderivadas es util cuando el integrando contiene una funci´n compuesta. Ya indentificadas
´
o
las funciones que forman la composici´n y el orden en que fueron aplicadas, sehace el cambio de variable u = g (x), donde g (x) es la
o
funci´n que se aplic´ primero en la composici´n.
o
o
o
1. Encontrar las antiderivadas de f (x) = 2x + 1 que pasan por los puntos (2, 4) y ( 1, 6), respectivamente, y graf´
ıcarlas en el mismo
plano coordenado.
2. Deducir una f´rmula para evaluar
o
qu´.
e

Z

axn (bxn+1 + d)m dx. ¿A qu´ valores hay que imponerles restricciones?Decir a cu´les y por
e
a

3. Evaluar las siguientes integrales.
i)

Z

Z

iv)

vii)

x)

3x

( x2

Z

Z

xiii)

1.2

p
3

4 dx

ii)

4x + 4)4/3 dx

v)

5

cos x (2 + sen x) dx

Z

Z

viii)

2

xi)

Z

xiv)

x2 + 2 x
dx
3 + 3 x2 + 1
x

p

p

x2

9 dx

1+

vi)

1 dx
3 x x2

2

x(x + 1)

Z

iii)

t
dt
t+3

ZrZ

(tan 2x + cot 2x) dx

p

x3

p

4

ix)

2 x2

x4

dx

sen x sen (cos x) dx

xii)

xv)

Z

Z
Z

p

s
ds
3s2 + 1

6x2 sen x3 dx

2 sen x

Z⇣

Z

1
t+
t

p
3

1 + cos x dx

⌘ 3/ 2 ✓

t2

1
t2



dt

sec x tan x cos(sec x) dx

Primer y Segundo Teorema Fundamental del C´lculo
a
Enunciado del Primer Teorema Fundamental delC´lculo:
a
Zx

Si f es continua en [a, b] entonces F (x) =

f (t)dt es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) y su derivada es f (x);

a

F 0 ( x) =

d
dx

Z

x

f (t)dt = f (x).

(1.1)

a

Enunciado del Segundo Teorema Fundamental del C´lculo:
a
Si f es continua es cada punto de [a, b] y F es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces

Z

b

f (x)dx = F (b)F ( a)

(1.2)

a

La siguiente f´rmula general (Regla de Leibniz) resultar´ de utilidad para resolver algunos ejercicios:
o
a
d
dx

Z

u2 ( x )
u1 ( x )

f (t)dt = f (u2 (x)) · u0 (x)
2

f (u1 (x)) · u0 (x)
1

N´tese que si u1 (x) = a y u2 (x) = x, se obtiene la ecuaci´n 1.1.
o
o
Las siguientes son conclusiones del Teorema fundamental del C´lculo:
a
i. Los procesos deintegraci´n y derivaci´n son mutuamente inversos.
o
o
ii. Cada funci´n continua f tiene una antiderivada F .
o
dy
iii. La ecuaci´n diferencial
o
= f (x) tiene una soluci´n (precisamente la antiderivada y = F (x)) para cada funci´n continua f .
o
o
dx

1

(1.3)

Para encontrar el area entre la gr´fica de y = f (x) y el eje x sobre el intervalo [a, b] usando antiderivadas (ya nosumas de Riemann y
´
a
sin que sea necesario que f sea no negativa en [a, b]), seguir los siguientes pasos:
i. Subdividir [a, b] con los ceros de f .
ii. Integrar f sobre cada subintervalo.
iii. Sumar los valores absolutos de las integrales.
1. Evaluar las siguientes integrales:
i)

Z

1
0

Z

iv)

|x

2
1
0

Z

xvi)

Z

xix)

xxii)

v)

3

p

1

2 t2 + 8⇣

dt

x

1/ 3

(1

Z

⇡ /3
0

Z

xx)

tan ✓
p
d✓
2 sec ✓

(sen 2x + cos 3x)dx
sen ✓ + sen ✓ tan2 ✓
d✓
sec2 ✓
sec2 (⇡

Z
Z

xii)

2 ✓ ) d✓

xv)

3⇡ / 8
1

t
0

1
0

3

y 2 + 2y

dy

y 3 + 3y 2 + 4

p
(x + 2) x + 1 dx

0
1/ 2

sec2
0

Z

Z

3 senx cos x
p
dx
1 + 3 sen2 x

xxi)

p
10 v
dv
(1 + v 3/2 )2

p
3

0...
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