Antiderivadas

|
AntidiferencialesYa hemos estudiado las derivadas y podemos encontrarlas e interpretarlas a partir de una función. Así por ejemplo: Al derivarla quedaría: ¿Qué sucede si queremos trasformar a 6x en su expresión original? A esa operación se la llama antidiferencial o antiderivada. Esquemáticamente: |
  |   |
Para los siguientes ejemplos usaremos el símbolo dx para indicar que se trata yade una expresión derivada.Ejemplos: |
  |   |
Ahora vamos a ver cómo se realiza: encontrar la función original que al derivarse da como resultado 6xdx.1. Analizando la expresión, encontraremos que 6xdx tiene una forma muy elemental.2. Busquemos en nuestra memoria la forma de algunas derivadas, por ejemplo: |
  | |
3. Es decir, para derivar al exponente le restamos 1, y multiplicamos porn; entonces para regresar a la función original debemos correr las operaciones en sentido inverso. |
  | |
4. Para derivar le restamos 1 al exponente; entonces debemos hacer lo inverso, es decir, le sumamos 1: |
  | |
5. Para llegar a 6 debimos multiplicar ahora lo que haremos será dividir: |
  | |
De aquí resulta: |
  |   |
Nota: Más adelante veremos con detalle cuál es elsignificado de la “c”.Para encontrar la fórmula general que nos permita realizar la antiderivada, vamos a ver otro ejemplo. Hallar la función primitiva de: Establezcamos de nuevo los criterios con los que trabajamos:  |
  |   |
Sustituyendo por la operación que intentamos resolver:  |
  |   |
Por lo tanto, la fórmula se desprende casi de modo natural:  |
  |   |
6. Concluyendo: laantiderivada de  es Veamos otro ejemplo: |
  |   |
Esta expresión se lee: hallar la función primitiva que al derivarse da como resultado  |
  | |
La fórmula será: |
  |   |
Resolvámosla tomando en cuenta que: |
  |   |
Entonces: |
  |   |
Como es de suponer, debemos comprobar que al derivar obtendremos Derivando: |
  |   |
Con lo cual se comprueba nuestro razonamiento.  |Ejemplo 1: |
  |   |
1) Cambiar exponentes: |
  |   |
2) Aplicando la fórmula: |
  |   |
3) Cambiando a radicales: |
  |   |
4) Derivando para comprobar: |
  |   |
Ejemplo 2 |
  |   |
1) Transformando: |
  |   |
2) Aplicando la teoría de los exponentes y radicales: |
  |   |
3) |
  |   |
4) |
  |   |
5) |
  |   |
Ahora sí estamos listos paraantidiferenciar.6) Aplicando la fórmula: |
  |   |
7) |
  |   |
8) Aplicando las leyes de los exponentes y los radicales:  |
  | Y este es el resultado final.  |
Ejemplo 3 |
  |   |
1) Aplicando la teoría de los exponentes y radicales:  |
2) |
  | |
3) |
  | |
Aplicando la fórmula: |
  | |
Aplicando la división de quebrados: |
  | |
Aplicando la teoría de los exponentes: |  |   |
4) Derivando para comprobar: |
  |   |
Ejemplo 4 |
  |   |
1) Aplicando las leyes de los exponentes y de los radicales:  |
  |   |
2) Aplicando la teoría de la multiplicación:  |
  |   |
3) Reescribimos Y estamos listos para integrar  |
4) |
  |   |
5) Aplicando la teoría de la división de quebrados:  |
  |   |
6) Desarrollando  |
  | |
7) Aplicando lateoría de los radicales:  |
  | |
8) Derivando para comprobar:  |
  |   |
Viendo el paso 2) podemos corroborar que estamos en lo correcto.Ejemplo 5Sea:  |
  |   |
Hallar la función primitiva.1) Aplicando la teoría de los radicales y de los exponentes:  |
  | |
2) Aplicando la fórmula |
  | |
3) |
  | |
4) |
  | |
5) |
  | |
6) |
  | |
7) |
  | |
8)|
  | |
9) Derivando para comprobar: |
  | |
Este es el momento de discutir detalladamente qué significa la “c” que hemos escrito en todos los resultados. Por ejemplo, sean:  |
  |   |
Derivando: |
  | |
Ahora integrando: |
  | |
Aquí surge una pregunta importante: ¿  es la derivada de qué ?¿de: ?¿de ?¿o de:  ?Integremos Surge de nuevo una pregunta  ¿a qué corresponde?...