Antiderivadas

Prof. Enrique Mateus Nieves
PHd. In advanced mathematics

ANTIDERIVADAS
Históricamente la idea de integral se halla unida al cálculo de áreas a través del teorema fundamental del
cálculo. Ampliamente puede decirse que la integral contiene información de tipo general mientras que la
derivada la contiene de tipo local.
El Concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a laderivada a tal razón se debe
su nombre de: antiderivada. Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de integral
indefinida o antiderivada. Es importante tener en cuenta que cuando se invierte algo donde intervienen
n
más de una operación, éstas han de invertirse pero en orden opuesto. Cuando tenemos x , al derivar
multiplicamos por el exponente y luego disminuimos éste en una unidad,lo inverso será, primero
aumentar el exponente en una unidad y después dividir por el exponente, lo que es el procedimiento que
se toma al resolver una operación de antiderivada, también llamada integral indefinida o primitiva de una
función.
Definición: La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir,
consiste en encontrar una función que, al ser derivadaproduce la función dada. Por ejemplo: Si f(x) = 3x2
entonces, F(x) =x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada
función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x). La antiderivada también se
conoce como la primitiva o la integral indefinida se nota: f  x  dx  F  x   C donde: f(x) es el



integrando; dx, la variable deintegración o diferencial de x y C es la constante de integración.
:

Teorema
Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números
reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

h x   g  x   C ,  x  D
h x   g  x   C ,  x  D

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de

números reales, entoncescualquier antiderivada de f en ese conjunto D , se puede escribir como,
g  x   C ,  x  D con C una constante real.
Es decir, que la función cuya derivada es 4 es una familia defunciones en este caso lineales cuyos
miembros, todos tienen pendiente de +4 pero diferentes intersecciones con el eje y como vemos en las
gráficas para los diferentes valores de la constante C, cuando C =0 C=5 C=-2 C=12 C=15C=8

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Se puede afirmar que la función F  x   4 x  C es la antiderivada de f  x   4 (en color vino tinto)

Ejemplo 2. Hallar la antiderivada de f x   3x 2 . De ahí que la función que se derivo es F  x   x 3 , pero

también pudo ser: F1 x   x 3  5 , o, F2  x   x 3  9 , o , F3 x   x 3  2 , o, F4 x   x 3  32 que engeneral se
representa por F x   x 3  C pues todas las anteriores funciones mencionadas tienen pendiente 3x 2 ;

es decir, que se puede afirmar que la función F x   x 3  C es la antiderivada de f x   3x 2 con
diferentes intersecciones con el eje y como vemos en las gráficas para los diferentes valores de la
constante C

INTEGRACION
Al proceso de hallar las antiderivadas se le llamaintegración y a la familia de funciones que se obtiene
mediante este proceso se llama integrales indefinidas y se representa mediante el símbolo
o signo de



la integral, dx indica la variable respecto a la cual se lleva el proceso de integración. Los símbolos
siguientes siempre van juntos f  x  dx ; donde f(x) es la derivada de la función desconocida llamada



integrando y la respuesta es unafamilia de funciones como las descritas en los dos ejemplos anteriores.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea
continua.

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Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una
constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f,...