Antiderivando con paco

[pic]NTEGRANDO CON PACO

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Juan Guillermo Rivera Berrío

Capítulo 2

2. Integral Definida
2.1 Notación sigma
Hola Paco! Ya es hora de adentrarnos en el maravilloso mundo de las integrales definidas.
P. Qué necesito para ello profe, es suficiente con los conceptos que trabajamos en integral indefinida?
En realidad Paco esos conceptos son necesarios pero no suficientes. Porejemplo, qué sabes tú de sumatorias o de la notación sigma?
P. Bueno… En estadística vi algo al respecto, pero no sé si es suficiente para lo que vamos a trabajar ahora. Por lo que me dice, deduzco que las integrales definidas se calculan como sumatorias.
Eso es cierto pero no del todo. Supongo que te refieres a las sumatorias tradicionales, éstas no servirán para comprender el concepto de integraldefinida. Iniciemos pues nuestra primera sesión.
Uno de los problemas que se puede solucionar con integrales definidas es el cálculo de áreas de regiones limitadas por curvas, es decir de regiones no convencionales como los polígonos regulares. Este problema lo abordaremos en la siguiente sesión, pero antes ilustrémonos con la notación sigma.
¿Qué puedes decir de la siguiente expresión 1 + 2 + 3+ 4 +5?
P. es la suma de los primeros cinco números naturales
Correcto. La notación sigma es una forma de representar simbólicamente sumas como la de la expresión anterior. Para este caso se representa así:
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Esta expresión es una sumatoria y se lee de la siguiente manera: “sumatoria de i con valores de (o desde) i igual a 1 hasta 5”.
P. Ahora entiendo porque en Excel aparece esesimbolito. Yo lo uso mucho para sumar los valores de una columna.
Muy bien Paco. Noto que estás entonado. Efectivamente, si en Excel escribes los números del 1 al 5 en una columna, puedes calcular “la sumatoria” de estos números con ese simbolito, es decir con la notación sigma. Ahora podrás entender la siguiente definición:
Definición 2
Si [pic] son números reales y m y n son números enteros tale quem ≤ n
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Esta definición es extensible a la notación funcional, es decir:
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P. Parece complicado, pero en resumen lo que hago es reemplazar i por m, luego por m+1 y así hasta n?
Dicho en tus palabras… Así es. Veamos unos ejemplos
Qué resultado obtendrías si desarrollas esta sumatoria
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P. Usted siempre complicando las cosas profe. No era con i que veníamos trabajando? Peroigual, sé que me responderá. Si reemplazo, entonces… 33 + 43 + 53 = 27 + 64 + 125, obtendría 216?
Muy bien Paco. Lo has comprendido. En la definición anterior el número m se le conoce como el límite inferior y n el límite superior de la sumatoria. Tu cuestionado símbolo i recibe el nombre de índice de la sumatoria, el cual puede ser cualquier otra letra.
Ahora trata de calcular la siguientesumatoria
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P. Huy profe, me vio cara de calculadora… 1 + 4 + 9 + 16 + … + 100, tengo que hacer 10 sumas, póngala más suave.
Esperaba esa reacción Paco. Pero no te preocupes. Existen teoremas, sencillos de demostrar, que simplifican este tipo de operaciones. Basta que repases un poco tus conocimientos de sucesiones del bachillerato. Sin entrar en detalles y demostraciones, te presento algunos deesos teoremas:
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P. Así si es muy fácil. Entonces para el ejercicio que me propuso puedo usar el teorema 6

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Muy bien Paco. Ahora está en capacidad de resolver los siguientes ejercicios, puedes verificarlos en el computador.

Ejercicios 5

Calcule las siguientes sumas

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P. ¿En el computador? Serefiere a Matlab o cualquier otro programa de algebra simbólica o a Excel?

En Excel puedes verificar la mayoría. Claro, si sabes manejar bien el Excel. Sin embargo te voy a ilustrar cómo resolverías el segundo ejemplo en Matlab y en Maxima.

Sumatorias en Matlab

Matlab propiamente no tiene una instrucción, comando o función que calcule directamente una sumatoria. Tienes que introducir un...