Antidiferenciación o Integral Indefenida



1.1. La primitiva o antiderivada de una función.
En nuestra vida diaria al momento de ir a dormir desarreglamos nuestra cama, pero puedo volverla a tender, dejando la cama como estaba originalmente. Decimos que las dos son operaciones inversas. Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones inversas: adición y sustracción, multiplicación y división, elevación a potencias y extracciónde raíces, tomar logaritmos y encontrar antilogaritmos, y en este caso la operación inversa de la derivación es la antiderivación (Purcell, 1992).
Por definición: “Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F (x) =  (x) en I es decir, si F’(x)=f(x) para toda x en I. (Si x es un punto frontera de I, basta con que F’(x) sea la derivada por un lado.)”(Purcell, 1992, p.217).Ejemplo 1: encuentre una antiderivada de la función f(x)=10x9 en el intervalo (- ,).
Solución buscamos una función F que satisfaga la igualdad F’(x)=10x9 para toda x real. Por nuestro conocimiento en derivación sabemos que F(x)=x10 es una de tales funciones.
Pero si nos ponemos a analizar obtendremos muchas más soluciones para el ejercicio, por ejemplo la función F(x)=x10 + 1 también satisface laigualdad F’(x)= 10x9; por lo tanto es una antiderivada de f(x)=10x9 . De hecho F(x)=x10 + C, donde C es cualquier constante, es una antiderivada de 10x9 en (- ,).
Lo que nos lleva a la notación introducida por el alemán G. Leibniz (1646-1716):
“F es una antiderivada de f”  
Donde
1.2. Propiedades de la integral indefinida o antidiferenciación
García da la conclusión que como laintegración indefinida o antidiferenciación es la operación inversa de la diferenciación los siguientes teoremas acerca de las integrales indefinida se pueden obtener de los teoremas dados para las derivadas. Por lo tanto aquí omitimos las demostraciones:

1. Sea una función. Entonces

donde es una constante.
2. Sean y dos funciones que están definidas sobre un mismo intervalo, entoncesDonde
Ejemplo 1:


Ejemplo 2:























2.1. Métodos de integración
En esta sección, ya con la ayuda del TeoremaFundamental del Cálculo, desarrollaremos las principales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas de una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, se presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad.
2.2.Métodos de integración por sustitución
Para este método recordaremos la regla de la cadena de la derivación.
Leithold (1994) se refiere que la regla de la cadena es uno de los métodos más importantes en la diferenciación de funciones, que nos sirve para obtener la derivada de una función compuesta, que nos permite aplicar sucesivamente dos o más funciones así: f(x)= x3; g(x)= 4x2+1 entonces
(f og)(x)= f(g(x))= f(4x2+1)= (4x2+1)3
F(x) = (4x2+1)(4x2+1) (4x2+1)
F’(x) = (4x2+1)( 4x2+1) Dx(4x2+1) + (4x2+1)Dx(4x2+1)( 4x2+1)
F’(x) = (4x2+1)2 (8x) + (4x2+1) (4x2+1) Dx(4x2+1) + (4x2+1) Dx(4x2+1)
F’(x) = (4x2+1)2 (8x) + = (4x2+1) 2(4x2+1)(8x)
F’(x) = (4x2+1)2 (8x) + 2(4x2+1)2 (8x)
F’(x) = 3 (4x2+1)2 (8x)
F (x) es la función compuesta de g(x) con f(x); por lo tanto F(x) = (f o g)(x) endonde:
F(x) = x3 y g(x) = 4x2+1
Puesto que: f’(x) = 3x2 y g’(x)= 8x entonces podemos concluir que:
F(x) = (f o g)(x) = f’(g(x)) g’(x)
Directamente entonces: Dx (f o g)(x) = 3(4x2+1)2(8x)
Lo que nos lleva a su definición:
Si una función g es diferenciable en x, y la función f lo es en g(x), entonces, la función compuesta (f o g) es diferenciable en x, y por lo tanto:
(f o g)’ (x) =...