Antitransformada De Laplace De Funciones Con Polos Complejos

Antitransformada de Laplace de Funciones con Polos Complejos
1.-Antitransformada de funciones con pares de polos complejos conjugados de multiplicidad uno.
Dada una función racional F(s) con un parde polos complejos, podemos escribir la expansión en fracciones parciales:

F(s) =

K1! (s + " ) + !
2 2

+

K2 (s + " ) (s + " )2 + ! 2

+ F1 (s)

la cual puede antitransformarsefácilmente como:

f (t) = e

!"t

[ K1 sen(# t ) + K 2 cos(# t) ]u(t ) + L !1 [ F1(s) ]

Las constantes K1 y K2 se hallan evaluando el límite

(s + # )2 + $ 2 lim F(s) = K1 + jK 2 s!"# + j$ $donde vemos que la parte real de este número complejo es el coeficiente del seno y su parte imaginaria es el coficiente del coseno.

Ejemplo.- Hallar la antitransformada de la función F(s) =

54(s +3s + 4) (s 2 + 8s + 25)(s2 + 2s + 1)

2

Podemos escribir la expansión en fracciones parciales como:

F(s) =
Hallamos los coeficientes:

3K1 (s + 4) + 3
2 2

+

(s + 4)K 2 (s + 4) + 3
22

+

K3 (s + 1)
2

+

K4 (s + 1)

(s + 4) + 3 54(s + 3s + 4) K1 + jK 2 = lim F( s) = s!"4 + j3 3 3(s2 + 2s + 1)

2

2

2

= 15 " j
s="4 + j3

K3 = lim (s + 1) F(s ) =
s! "12

54(s + 3s + 4) (s 2 + 8s + 25)
s= "1

2

=6

54 # (2s + 3)(s 2 + 8s + 25) " (s2 + 3s + 4)(2s + 8) % d 2 $ & # (s + 1) F( s)% = K4 = lim $ & 2 2 s!"1 ds (s + 8s + 25)

=1
s= "1

Laantitransformada es entonces:

f (t) = e!4t [15sen(3t ) ! cos(3t) ] + (6t + 1)e! t u(t)

{

}

2.- Antitransformada de funciones con pares de polos complejos conjugados de multiplicidad dos.Puede aplicarse un procedimiento similar para una función con polos complejos dobles. La expansión en fracciones parciales deseada tiene la forma:

F(s) =

K11! (s + " )2 + ! 2

+

K21 (s + " )(s + " )2 + ! 2

+

K12 [ 2! (s + " )] # (s + " )2 + ! 2 % $ &
2

+

K22 # (s + " )2 ' ! 2 % $ & # (s + " )2 + ! 2 % $ &
2

+ F1 (s)

cuya transformada inversa es

f (t) = e

!"t...