ANTOLOGIA ALGEBRA LIN 97 2003

Algebra Lineal

ALGEBRA LINEAL
UNIDAD I
Números Complejos

UNIDAD II
Matrices y Determinantes

UNIDAD III
Sistemas de Ecuaciones Lineales

UNIDAD IV
Espacios Vectoriales

UNIDAD V
Transformaciones Lineales

L. M. Clemente Hernández Santiago

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Algebra Lineal

“Cuando se nos otorga la enseñanza se debe
percibir como un valioso regalo y no como una
dura tarea, aquí esta la diferencia delo
trascendente”
( Albert Einstein)

“ La imaginación es mas importante que el
conocimiento”
( Albert Einstein)

L. M. Clemente Hernández Santiago

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UNIDAD I
NUMEROS COMPLEJOS
1.1 Definiciones y Orígenes de los Números Complejos.
De los axiomas que rigen la relación < se deduce que el cuadrado de un
numero real nunca es negativo. Así, por ejemplo, la sencilla ecuacióncuadrática x 2  1 no tiene solución en números reales.
Nuevos tipos de números, llamados números complejos, deben introducirse
para conseguir las soluciones de tales ecuaciones. La introducción de tales
números proporciona, al mismo tiempo, las soluciones de las ecuaciones
algebraicas generales de la forma
a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  0

Donde los coeficientes a0 , a1 , a2 ,...an son númerosreales cualesquiera. (Esta
proposición es conocida como Teorema Fundamental del Algebra ).
DEFINICION: Consideremos como numero complejo un par ordenado de
números reales que representaremos por la notación x1, x2  . Donde el primero
es la parte real del número complejo; el segundo, x 2 es la parte Imaginaria.
DEFINICION: El numero complejo 0,1 se representa por i y se llama la
unidadimaginaria.
TEOREMA: Todo número complejo Z  x1 , x2  puede escribirse en forma
algebraica de la forma Z  x1  ix 2 .
TEOREMA: El cuadrado de la unidad imaginaria es igual a -1, es decir:
i 2  1.
NOTA: Un número complejo tiene magnitud y dirección.
Puesto que un número complejo tiene magnitud y dirección, éste tiene
representación vectorial, como se muestra en la siguiente figura.

Z  a  ib

b

Z
a

L. M. Clemente Hernández Santiago

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Donde: Z  a 2  b 2
b
a
PROPOSICION: Dos números complejos
iguales si y solo si a1  a2 y b1  b2 .

  arctan  

Z1  a1  ib1 y

Z 2  a2  ib2 son

PROPOSICION: Se dice que dos números complejos Z 1 Y
mutuamente conjugados si y solo si Z1  a  bi y Z 2  a  bi .

Z2

son

1.2 Operaciones Fundamentales con Númeroscomplejos
DEFINICION: La suma de dos números complejos Z1  a1  ib1 y Z 2  a2  ib2
se define de la forma Z1  Z 2  (a1  a2 )  i(b1  b2 )
DEFINICION: El producto de dos números complejos Z1  a1  ib1
Z 2  a2  ib2 , se define de la forma: Z1 Z 2  a1a2  b1b2   ia1b2  b1a2  .

y

Z1  a1  ib1

y

DEFINICION: El cociente de dos números complejos
Z 2  a2  ib2 se define de la forma

Z1 a1 ib1

Z 2 a 2  ib2

 a 2  ib2 


 a 2  ib2 

TEOREMA: Las operaciones de adición y multiplicación de números complejos
satisfacen las leyes conmutativa, asociativa y distributiva.
EJEMPLOS:
1) Sean Z1  3  2i , Z 2  4  5i , calcular:
a) Z1  Z 2
b) Z1  Z 2
c) Z1 Z 2
Z
d) 1
Z2
SOLUCION:
a) Z1  Z 2  3  2i  4  5i  1  7i
b) Z1  Z 2  3  2i  (4  5i)  3  2i  4  5i  7 3i
c) Z1 Z 2  (3  2i)(4  5i)  12  15i  8i  10i 2  12  7i  10  22  7i

Z1
3  2i   4  5i   12  15i  8i  10i 2  2  23i
2 23


  i


2
Z 2  4  5i   4  5i 
41
41 41
16  25i
2) Calcule las operaciones indicadas de los siguientes números complejos.
2
a) 2  i   4  4i  i 2  3  4i
d)

L. M. Clemente Hernández Santiago

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2  3i 2  3i 1  4i  2  8i  3i  12i 2  10  11i
10 11


  i


2
1  4i 1  4i  1  4i 
17
17 17
1  16i
c) i17  i18  i 20  i  1  1  i
1  i 1  i  1  i  1  i   1  i  1  i  1  2i  1 1  2i  1
d)



 i i  0




1  i 1  i  1  i  1  i   1  i  1  i 
2
2
b)









1
 1
 1
3  1
3 
3 
3 
e) 2i 
i   
i   i  3i 2   
i...