Antologia

4.6.1 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio En la fig. 4.9 se puede apreciar la gráfica de una función que es contínua en el intervalo f ' ( x ) existe (no tiene picos) en cerrado [a, b], f ( a ) = f (b ) = 0 y además todos los puntos del intervalo (a, b).

fig. 4.9 Intuitivamente, puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva, de abscisa c entre a y b, en el cual la rectatangente a la curva es horizontal (paralela el eje x). Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema de Rolle que se enuncia sin demostración. TEOREMA 1 (TEOREMA DE ROLLE) Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades: i. ii. f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).

iii.

f ( a ) = f (b )= 0 .

Entonces, existe por lo menos un punto c ∈ (a , b ) tal que:

f '(c ) = 0 .

El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es una generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor medio para derivadas. TEOREMA 2 (T.V.M.) Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades: i. ii. f es contínua en elintervalo cerrado [a, b]. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).
f ' (c ) = f (b ) − f ( a ) b−a

Entonces, existe por lo menos un punto c ∈ (a , b ) tal que:

Antes de ver la demostración del teorema, analice su significado geométrico. En la fig. 4.10 se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis del T.V.M.

fig. 4.10 El término [ f ( b ) − f ( a ) ] ( b − a ) es lapendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretar geométricamente el teorema así: Existe un punto P sobre la curva de abscisa c, c ∈ (a , b ) tal que la recta tangente a la curva en P cuya pendiente es AB . Demostración: Usando la forma: dos – puntos de la ecuación de la recta, se deduce para la recta secante, la ecuación: f (b ) − f ( a ) y− f (a ) = (x − a) b−a De donde,
y = f (a ) + f (b ) − f ( a ) (x − a) b−a

f ' ( c ) , es paralela a la recta secante

Defínase ahora la función F (x) como la función distancia vertical entre cada punto (x, f(x)) sobre la curva y el correspondiente (x, y) sobre la secante AB (segmento d. de la fig. 9.12.) . Asi que: F (x) = f (x) − y f (b ) − f ( a )   = f ( x) −  f (a ) + ( x − a ) b−a  Esto es,

F ( x) = f ( x) − f (a ) −

f (b ) − f ( a ) ( x − a) b−a

(1)

La función F (x) así definida satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo [a, b]. En efecto: i. ii. F (x) es contínua en el intervalo cerrado [a, b]. (por qué?) F (x) es derivable en el intervalo abierto (a, b). (por qué?) Además, F ' ( x ) = f ' ( x ) − f (b ) − f ( a ) b−a (2)

iii.Finalmente, F ( a ) = f ( a ) − f ( a ) −

[ f (b ) −
[ f (b ) −

f (a )] (a − a ) = 0 b−a

F (b ) = f (b ) − f ( a ) −

f (a )] (b − a ) = 0 b−a

En consecuencia, de acuerdo con el teorema de Rolle, existe por lo menos un punto c ∈ (a , b ) tal que F ' ( c ) = 0 . Pero, de acuerdo con (2) F ' ( c ) = f ' ( c ) − f (b ) − f ( a ) b−a que era lo que se quería

Luego, demostrar.

f ' (c ) −f (b ) − f ( a ) f (b ) − f ( a ) = 0 ⇒ f ' (c ) = , b−a b−a

Ejemplo 1.
3 2 Analizar si f ( x) = x − 5x − 3x satisface las hipótesis del T.V.M. para derivadas en el intervalo [1,3] y en caso afirmativo, determine el valor(es) de C que satisface la conclusión.

Solución:
3 2 i. f ( x) = x − 5x − 3x es contínua en 2 ii. f ' ( x) = 3x − 10x − 3 ⇒ f

[1,3]

¿Por qué?

es derivable en(1,3)

¿Por qué?
C ∈ (1,3)

Como f cumple la hipótesis del T.V.M., entonces, existe por lo menos un C, tal que:

f ' (C) =
Pero,

f (3) − f (1) 3 −1
f (3) = 33 − 5.32 − 3.3 = −27; f (1) = 1 − 5 − 3 = −7

f ' (C) = 3C 2 −10C − 3;

Asi que:

3C 2 − 10C − 3 =

− 27 − (−7) = −10 3 −1

2 Por lo tanto, 3C − 10C + 7 = 0 ⇔ (3C − 7)(C − 1) = 0

De donde, C = 7 / 3,

C =1...