Antologia

maximos y minimos cal








































MÁXIMOS y MÍNIMOS

(SEGUNDA PARTE)

Máximos y Mínimos Relativos[1]

Descripción del 2º Método.
Criterio de la segunda derivada. Utilizaremos como ejemplo la siguiente función y = f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 2.
1º paso: Se calcula la primera y segunda derivada [pic] y [pic].
Si el valor dela segunda derivada es cero, no se podrá decir si habrá máximo o mínimo, o posiblemente no habrá máximo o mínimo.
Veamos nuestra función:

Primera derivada:
[pic]
[pic]
Segunda derivada:
[pic][pic]

2º paso: La primera derivada se iguala con cero y se resuelve.
El resultado de la primera derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación para obtener las raíces.
Ejemplo:
6x2 – 6x – 12 = 0
Simplificando al dividir por 6 setiene:
x2 – x – 6 = 0
Por factorización:
(x – 2)(x + 1) = 0
Resolviendo se obtiene:
x1 = 2
x2 =-13º paso: Análisis de la segunda derivada.

Las raíces x1, x2, x3 … se sustituyen en la segunda derivada [pic]. Si hecha la sustitución, el valor de la segunda derivada es negativo entonces hay un máximo, si es positivo hay un mínimo.

Es decir:
f ’’(x) > 0 se presume que hay un Mínimo

f ’’(x) < 0 se presume que hay un MáximoEjemplo: Para x1 = 2
[pic] = y’’ = 12x – 6

f ’’(2) = 12(2) – 6 = 24 – 6 = 18

18 > 0
Hay un mínimo en x = 2.

Ejemplo:Para x2 =-1
f ’’(-1) = 12(-1) – 6 = -12 – 6 = -18
-18 < 0
Hay un máximo en x =-1.

4º paso: Se calculan las ordenadas y se forma los puntos críticos.
Para obtener las coordenadas del máximo odel mínimo relativos, que corresponde a x1, x2, x3 … calculamos el valor de la ordenada en la función original. [2]
Ejemplo:

Calculamos las coordenadas para x1 = 2

f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 2

f(2) = 2(2)3 – 3(2)2 – 12(2) + 2 = 16 – 12 – 24 + 2f(2) = 18 – 36 =-18
El mínimo relativo está en el punto: (2, -18)

Calculamos las coordenadas para x1 =-1

f(-1)= 2(-1)3 – 3(-1)2 – 12(-1) + 2 = -2 – 3 + 12 + 2
f(-1) = 14 – 5 = 9El máximo relativo esta en el punto: (-1, 9).

Conclusión: Los puntos críticos serán.

P.C.Mínimo= [pic]

P.C.Máximo= [pic]



Veamos la gráfica






















Problemas de Máximos y...