Antonio

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Algebra Lineal
Jorge Luis Arocha
versi´ n compilada el
o
2 de septiembre de 2010

II

Cap´tulo 1 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Operaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1Conmutatividad (3). Asociatividad (3). Elementos neutros (4). Elementos inversos (4).
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Distributividad (5). El algebra “abstracta”(5).

1.2 N´ meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6

Naturales (6). Enteros (6). Grupos (7). Anillos (7). Racionales (8). Campos (8). Reales
(8). Complejos(9).

1.3 Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Morfismos de grupos (10). Morfismos de anillos (11). Isomorfismos (12). Composi­
ci´ n de morfismos (13).
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1.4 Campos de restos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

El anillo de los enteros m´ dulo n (14). Dominios de integridad (14). El campo de los
o
enteros m´ dulo p (15).
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1.5 Campos primos. Caracter´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16

Subcampos (16). Campos primos (16). Caracter´stica (18).
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1.6 Aritm´ tica de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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18

M´ ltiplos y exponentes enteros (18). Asociatividad general (18). Distributividad gene­
u
ral (19). F´ rmula multinomial (19). La expansi´ n de ΠΣαij (20).
o
o

*1.7 Polinomios sobre campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Suma y producto de polinomios (21).Divisi´ n de polinomios (22). Factores y raices
o
(22). Ideales de polinomios (23). Unicidad de la factorizaci´ n en irreducibles. (25).
o
Desarrollo de Taylor (26).

*1.8 Polinomios complejos. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Forma polar. Igualdad de Moivre (27). Continuidad (28). L´mite de sucesiones com­
ı
plejas (30). Teorema de Gauss(30).

*1.9 Factorizaci´ n de polinomios complejos y reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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32

Caso Complejo (32). Caso real (32).

*1.10 Campos de fracciones. Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Campos de fracciones (34). Funciones racionales (35).

Cap´tulo 2 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1 El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Definici´ n y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
El espacio de n­adas Kn (39). El espacio de polinomios K[x] (40). El espacio de
sucesiones KN (40). El espacio de series K [[x]] (40). El espacio de funciones KN
(40). El espacio de N­adas KN (41). El espacio de N­adas con soporte finito K{ N }
(41). Subcampos (42). El espacio de N­adas de vectores EN (42). El espacio de NM­
matrices KN M (42). El espacio de tensores (43).

2.3 Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37
37
38

44

IV

Contenido
Uni´ n e intersecci´ n de subespacios (44). Combinaciones lineales (45). Cerradura li­
o
o
neal (46).

2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Conjuntos generadores...