Anualidad anticipada

ANUALIDAD ADELANTADA O ANTICIPADA
Es una anualidad cuyo pago periódico se hace al principio de cada intervalo de pago.

1. CÁLCULO DEL MONTO O VALOR FUTURO:

Ejemplo:
* Hallar el monto de una anualidad con pagos periódicos de S/. 100 son pagaderos al principio de cada trimestre durante un año, a una tasa efectiva trimestral del 9%.

R = 100 n = 4
I = 0,36/4 = 0,09 S =?0 1 2 3 4
100 100 100 100 S =?


S = 100 (1 + 0,09)⁴ + 100 (1 + 0,09)³ + 100 (1 + 0,09)²
S = 498,47

DEDUCCIÓN DE FORMULA

Simbólicamente tenemos lo siguiente:
S = R (1 + i)⁴ + R (1 + i)³ + R (1 + i)² + R (1 + i)

Sacando factor común “R” e invertirlo el orden de los factores, tenemos que:
S = R [ (1 + i) + (1 + i)² + (1 + i)³ + (1 +i)⁴ ]

Y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que hallamos su razón geométrica, para luego hallar la suma de sus términos.

Razón (r) = (1 + i)⁴ = (1 + i)
(1 + i)³

Primer término: a = (1 + i)
Último término: u = (1 + i)⁴

La formula de la suma de términos de una progresión geométrica finita es:

Suma (s) = (u * r) – a
r -1

Suma = (1 + i)⁴ * (1 + i) - (1 + i) = (1 + i)⁵ - (1 + i)
(1 + i) – 1 i

Por lo tanto, reemplazando en la formula general, se tiene que:

S = R [ (1 + i)⁵ - (1 + i) ]
i

Cuando cuatro es el numero de periodos; aumentándose “n” en 1 (n = 4 + 1 = 5).

La fórmula del monto de una anualidad adelantada cuyos pagos (R) son pagaderos al inicio de cada periodo, durante “n”periodos y a una tasa de interés “i”, seria:

S = R [ (1 + i)ⁿ⁺¹ - (1 + i) ]
I

En el ejemplo visto tenemos que:

S = 100 [ (1 + 0,09)⁴⁺¹ - (1 + 0,09) ]
0,09

S = 498,47

2. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL (A)

Con los datos del ejemplo anterior, hallar el valor actual de dicha anualidad.

R = 100
i = 0,36/4 = 0,09
n = 4
A = ?

0 1 2 34
A = ?
100 100 100 100

A = 100 + 100 (1 + 0,09)ˉ¹ + 100 (1 + 0,09) ̄² + 100 (1 + 0,09)ˉ³
A = 353,13

DEDUCCIÓN DE FORMULA

Para obtener la fórmula del valor actual, seguimos el mismo procedimiento que seguíamos para hallar el monto de una anualidad.

A = R + R (1 + i) ̄¹ + R (1 + i)ˉ² + R (1 + i)ˉ³

Sacando factor común “R” e invertirlo el orden de losfactores, tenemos:

A = R [ (1 + i)ˉ³ + (1 + i)ˉ² + (1 + i) ̄¹ + 1 ]

Y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que hallamos su razón geométrica, para hallar luego la suma de sus términos.

Razón (r) = 1 = (1 + i)
(1 + i) ̄¹

Primer término: a = (1 + i)ˉ³
Último término: u = 1

La fórmula de la suma de los términos de su progresión geométricafinita es:

Suma = (u * r) – a
r – 1

Suma = 1 * (1 + i) - (1 + i)ˉ³ = (1 + i) - (1 + i)ˉ³
(1 + i) – 1 i

Por lo tanto, reemplazando en la fórmula general se tiene que:

A = R [ (1 + i) - (1 + i)ˉ³ ]
i

Cuando cuatro es el número de periodos; por lo que disminuye “n” en 1: (n - 4 – 1 – 3)

La fórmula para calcular el valor actual de una anualidad anticipada, cuyospagos (R) son pagaderos al inicio de cada periodo durante “n” periodos y a una tasa de interés “i” seria:

A = R [ (1 + i) – (1 + i)ˉ⁽ⁿ ̄¹⁾ ]
i

Tomando como referencia el ejemplo anterior, tenemos que:

A = 100 [ (1 + 0,09) – (1 + 0,09) ˉ⁽⁴ ̄̄¹⁾ ] = 353,13
0,09

3. PROBLEMAS RESUELTOS DE ANUALIDADES ADELANTADAS O ANTICIPADAS

a) Una empresa de confecciones necesita adquiriruna nueva máquina para poder incrementar su producción por lo que hará un préstamo de $. 75 000 al Banco Norte que cobra una TEA del 25%. Si las cuotas mensuales iguales anticipadas son de $.5 676,74. ¿En cuántas mensualidades podrá cancelar este crédito?

(1 + 0,25)¹ = (1 + i)¹²
i = 0,018769 mensual

75 000 = 5 676,74 [ (1 + 0,018769) – (1 + 0,018769)ˉ⁽ⁿˉ¹⁾
0,018769

-0,...