Anualidades

Matemáticas financieras

UNIDAD IV. ANUALIDADES
4.2. Anualidades anticipadas

4.2. Anualidades anticipadas

Las anualidades anticipadas ocurren al inicio de cada periodo de
tiempo, el diagrama de flujo de cada de estas anualidades es el
siguiente:

Las anualidades vencidas son aquellas que sus pagos iguales ocurren al
finalizar cada periodo, un diagrama de flujo de cada de dichasanualidades se muestra a continuación:

Donde R representa cada pago y los números en el eje horizontal son
los periodos de tiempo transcurridos.

La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor
del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad
determinada de periodos de tiempo (n) es:

La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con elvalor
del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad
determinada de periodos de tiempo (n) es:

Para anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas:
 (1+i )n − 1 
M=R 

i





Para anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas:
 (1+i ) n − 1 
M=R 
 (1+i )
i




Esta ecuación equivale a la usada para anualidades vencidas,solo que
se le añade un periodo (1+i) ya que el monto total se capitaliza un
periodo más.

La ecuación que en lugar del Monto relaciona el capital (C) o valor
presente, con el pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de
una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:
1 − (1 + i )-n 
C=R 

i





En el caso del capital la ecuación queda:
 1 − (1 + i )-n+1 C=R 1 +

i





Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

1

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4.2. Anualidades anticipadas

Ejemplo 1. Un trabajador deposita $250 en una cuenta de ahorros al
inicio de cada mes; si dicha cuenta paga 1.3% de interés mensual
capitalizable al mes ¿Cuánto habrá ahorrado al cabo de un año?
Solución: se realiza el diagrama de flujo de caja para visualizar lospagos:
R = $250
R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

6

R

7

R

8

R

9

10

R

R

11 12

Entonces los datos son:
R = $250;
n = 12,
i = 1.3% mensual capitalizable al mes

Ejemplo 2. Determine el valor del monto al cual equivalen 6 pagos
anticipados semestrales de $14,500 si el interés es del 19% anual
capitalizable semestralmente.Solución: Los datos son:
M=?
n=6
R = $14,500
i = 19% anual capitalizable al semestre
 (1+i ) n − 1 
M=R 
 (1+i )
i




  0.19 6 
 1+
 − 1
2
 1+ 0.19  = $120,968.40
M=$14,500  

0.19


2



2



Cuando se cumplan los 12 periodos mensuales se cumple el año; por lo
cual la sustitución de la ecuación queda de la siguiente forma:
 (1+i ) n −1 
M=R 
 (1+i )
i




 (1+0.013)12 − 1 
M=250 
 (1+0.013) = $3, 265.99
0.013





Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

2

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Ejemplo 3. Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda
pagar $2,750 de renta por anticipado. Como desearía liberarse del
compromiso mensual, decide proponer una renta anual anticipada. Si
losintereses son del 15.6% anuales convertibles mensualmente
¿Cuánto debería ser la renta anual anticipada?
Solución:
C=?
R=$2,750
i = 15.6% anual capitalizable al mes
n = 12 meses
 1 − (1 + i )-n+1 
C=R 1 +

i




-12+1


 0.156 
 1 − 1 +


12 
 = $30, 767.60
C=$2,750 1 + 
0.156




12



Ejemplo 4. Un trabajador debe pagar $90,000 dentro de 2años, para lo
cual desea hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión
que rinde 4.2% bimestral ¿Cuál debe ser el valor de los depósitos si
hoy realiza el primero?
Datos: n = 12 i = 0.042 bimestral M = $90,000 R = ?
Solución:
1

 (1+i ) n − 1 
i


M=R 
 (1+i ) Despejando queda: R=M 
n

i
 (1+i )  (1+i ) − 1  







1




i...