anualidades

Unidad 11

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Anualidades Simples Anticipadas

INTRODUCCION
Una anualidad anticipada es aquella en la cual los pagos se llevan a cabo al
inicio del periodo de renta. Son ejemplos de anualidades anticipadas los pagos anuales
(primas) de un seguro de vida, la renta de una casa u oficina; algunos planes de crédito
estipulan que los pagos deben realizarse al comienzo de los periodosconvenidos,
etcétera.
En este capítulo se estudiarán las anualidades anticipadas simples y ciertas. Se
recuerda al lector que una anualidad es simple cuando el periodo de capitalización
coincide con el periodo de pago, razón por la cual no es necesario especificar
explícitamente el periodo de capitalización en un problema dado. La anualidad es cierta
cuando los pagos comienzan y terminan en fechasdeterminadas.
La diferencia entre una anualidad ordinaria y una anticipada se puede ver
gráficamente en los siguientes diagramas de tiempo:

Obsérvese que la anualidad anticipada comienza con un pago y concluye un
periodo después de que se haya cubierto el último pago. Por tal motivo, el n-ésimo
pago gana intereses por un periodo debido a que fue depositado al inicio del último
periodo.MONTO Y VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
A través de un ejemplo se verá la forma en que se acumula el dinero en una
anualidad simple, cierta y anticipada.
Se depositan $ 100.00 al inicio de cada mes en un banco que paga el 2%
mensual capitalizable en forma mensual. ¿Cuál será el monto después de 5 depósitos?

Si F representa el monto de la anualidad, se puede formar la siguienteecuación de
valor:

El valor actual de la anualidad se puede obtener calculando el valor actual del monto,
esto es:

El valor presente de una anualidad anticipada tiene las mismas interpretaciones
que el valor presente de una anualidad ordinaria.
La deducción de la fórmula para obtener el monto de una anualidad anticipada se
lleva a cabo generalizando el ejemplo anterior.
Sea A el pago hechoal principio de cada uno de n periodos y j% la tasa de
interés por periodo (i, en forma decimal).

El primer pago se realiza al inicio del primer periodo, por tal motivo ganará
intereses por n periodos; el segundo pago ganará intereses por (n - 1) periodos, etc. El
último pago genera intereses por un periodo. Si la fecha focal se escoge en el periodo
n, entonces el monto o valor futuro dela anualidad anticipada viene dado por:

La expresión que se encuentra entre los corchetes es una progresión geométrica,
donde:

Sustituyendo la expresión anterior por la expresión que se encuentra entre los
corchetes se tiene:

La fórmula general para obtener el valor actual de una anualidad anticipada se
puede obtener al calcular el valor actual del monto, usando la ecuación (7.2):EJEMPLO 9.1
Un profesionista deposita $ 470.00 al principio de cada mes, en una cuenta de
inversión. Si la tasa de interés es del 23.64% capitalizable cada mes,
a) Obtenga el monto al cabo de 4 años.
b) ¿Cuál es el interés ganado en los 4 años?
c) Calcule el valor presente de la anualidad.
SOLUCIÓN

EJEMPLO 9.2
Una compañía constructora debe invertir durante los próximos 5 años, alcomienzo de cada mes, $ 15,000.00 en un fondo para la depreciación de su
maquinaria. ¿Cuál será el monto de este fondo de depreciación al cabo de 5 años, si ha
estado produciendo el 27% capitalizable cada mes? Si los depósitos mensuales se
hicieran al final de cada mes, ¿cuál sería el monto?
SOLUCIÓN

EJEMPLO 9.3
La póliza de un seguro de vida estipula que se entregue al beneficiario de ésteun pago de $ 5,000.00 al comienzo de cada mes durante 12 años. ¿Cuál es el valor
presente de esta anualidad, si la tasa de interés es del 2.35% mensual?
SOLUCION

EJEMPLO 9.4
Utilice el problema anterior y compare el valor actual de la anualidad anticipada
con el valor actual si fuera anualidad ordinaria.
SOLUCION
Si la anualidad fuera ordinaria, entonces:

El valor presente de la...