ANUMERICO2013seguro

Análisis Numérico
Dra. Melitta Fiebig Wittmack, Lic. M Alejandra Peralta Müller.
March 27, 2013

Contents
1 Introducción

2

2 Soluciones de Ecuaciones No-Lineales en una Variable.
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 El método de Newton-Raphson. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Iteraciones Funcionales.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4Rapidez de Convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Aceleración y Generación de Convergencia. . . . . . . . . .
2.6 Análisis del Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Generalización a R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Una primera aplicación del principio de contracción

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Una segunda aplicación . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales
3.1 Algoritmo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Normas vectoriales, normas matriciales y estimación de errores . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Perturbaciones en el lado derecho  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.2.2 Perturbaciones en los coeficientes de la matriz  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análisis del error de redondeo en el método de eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . .
Algoritmos de Factorización de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4.1 Algoritmo de Choleski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Métodos Indirectos;Resolución de Sistemas Mediante Métodos Iterativos
3.5.1 Algoritmo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Método de Gauss Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Convergencia de los Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Interpolación
4.1 Interpolación Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

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2.7.2

3.3
3.4
3.5

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4.1.1

Polinomios de interpolación de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.1.2

Polinomios de interpolación de Newton

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.2

El resto en la interpolación polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.3

Interpolación Mediante Funciones Spline . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
4.3.1 Fundamentación teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Construcción de funciones spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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38
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4.3.3

41

Propiedades de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

5 Ecuaciones en Diferencias y Caos

41

6 Ecuaciones DiferencialsOrdinarias
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Algoritmo de Euler para una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden
6.3 Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1Algoritmo de Runge-Kutta para una Ecuación Diferencial de Primer Orden . . .
6.4 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales.

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43
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46
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6.5

1

Calidad de los Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introducción

La matemática numérica elabora soluciones constructivas para problemas matemáticos mediante el...