anáisis vectorial

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA I (Ingeniería Química)

TEMA 1: ANÁLISIS VECTORIAL
1.
2.
3.

Campos escalares y vectoriales
Coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas
Gradientede un campo escalar.

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA I (Ingeniería Química)

1.- Campos escalares y vectoriales
Campo escalar es una función escalar de punto que representa una
magnitudfísica. Por ejemplo, el campo de temperaturas T=T(x,y,z).
Superficie de nivel es el lugar geométrico de los puntos que tienen el
mismo valor escalar. Ejemplo: T=30(1+e-5z), esta función escalarsólo
varía con la coordenada z y las superficies de nivel son planos
paralelos al plano XY
Campo vectorial es una función vectorial que representa una
magnitud física vectorial. Por ejemplo,relcampo de r
velocidades de las
r
r
partículas de un fluido V = Vx ( x, y , z )i + V y ( x, y, z ) j + Vz ( x, y , z ) k
Línea de campo es el lugar geométrico de los puntos tangentes al
vectorcampo

1

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2.- Coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas
Coordenadas cartesianas P(x,y,z)
r
r
r
r
dl = dx i + dy j + dz kCoordenadas cilíndricas P(r,ϕ,z)
r
r
r
r
dl = dr ur + rdϕ uϕ + dz u z

Coordenadas esféricas P(r,θ,ϕ)
r
r
r
r
dl = dr ur + rdθ uθ + rsenθdϕ uϕ

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3.- Gradiente de un campo escalar es un vector
perpendicular a las superficies de nivel en el sentido de
menor a mayor valor escalar. Su valor se calcula con lassiguientes expresiones:
En cartesianas
En cilíndricas
En esféricas

δU r δU r δU r
i+
j+
k
δx
δy
δz
δU r 1 δU r δU r
grad (U ) = ∇U =
ur +
uϕ +
uz
δr
δz
r δϕ
1 δU r
δU r 1 δU r
grad(U ) = ∇U =
ur +
uθ +
uϕ
δr
r δθ
rsenθ δϕ
grad (U ) = ∇U =

La función escalar se puede obtener integrando la ecuación:
2
r
r
dU = grad (U ) ⋅ dl ; U 2 − U1 = ∫ ∇U ⋅ dl
1

2...