Análisis armónico

ANÁLISIS ARMÓNICO (Resumen)

La proposición básica del análisis armónico afirma que cualquier serie estacionaria (para nosotros, libre de tendencia) puede ser perfectamente aproximada por un polinomio trigonométrico como,

X t  a0    a p cos p0t  bp sen p0t 
T /2 p 1

(1)

El significado de los términos del polinomio anterior es el siguiente, a) t es la variable tiempo, que tomavalores entre 1 y T siendo T el número de observaciones disponibles. b) w0 es la frecuencia que viene definida en función del número de observaciones como, w0  2 / T radianes. Supongamos que tenemos una circunferencia de radio 1 como la de la figura,

b

O

Si el segmento Ob gira un ángulo 2/T por cada periodo de tiempo t, es claro que en T periodos habrá descrito un giro completo. Sirepresentamos en un gráfico los valores de la función f = sen w0t comprobaremos que forman un ciclo teórico perfecto que se “repite” una sola vez en toda la muestra disponible, de tamaño T. Lo mismo sucedería con la función g = cos w0t. Puesto que este movimiento circular se da una sola vez en el conjunto de las T observaciones, decimos que a la frecuencia angular w0 le corresponde una frecuenciaverdadera 1/T. La frecuencia w0 es la primera de las que forman las denominadas frecuencias de Fourier. El resto se obtienen multiplicando w0 por 2, 3, .... T/2. Para 2 w0, siguiendo el mismo razonamiento anterior, encontraríamos ahora un movimiento circular que se repite dos veces en el conjunto de todo el periodo. Por tanto a esa frecuencia angular le corresponde una frecuencia verdadera, 2/T, yasí sucesivamente hasta llegar a la frecuencia T/2 w0, que definiría un ciclo teórico que se repite T/2 veces.

1

Teniendo en cuenta que el periodo es la inversa de la frecuencia, a w0 cuya frecuencia verdadera era 1/T, le corresponderá un periodo de T, es decir esa frecuencia define un ciclo teórico de T periodos (años, meses, etc). A la frecuencia 2w0 le corresponde un periodo T/2, es decirse trata de un ciclo teórico de T/2 periodos, etc. c) Para cada una de las frecuencias de Fourier, se define lo que se llama un armónico como el movimiento compuesto de una onda de coseno y una de seno en esa frecuencia. Por ejemplo el armónico número 1 vendría dado por,

a1 cos(10 t )  b1 sen(10 t )
análogamente el segundo armónico será,

a2 cos(20 t )  b2 sen(20 t )
Con Tobservaciones se definen T/2 armónicos y es por ello que p varía entre 1 y T/2 en la expresión (1); p indica el orden del armónico. d) Finalmente , ap y bp son coeficientes a estimar a partir de los datos. Una vez hemos definido los términos de (1) se observa que el desarrollo del sumatorio de dicha expresión equivale a una ecuación de regresión múltiple con T variables explicativas. Utilizando todas estasvariables, se consigue un coeficiente de determinación de 1, es decir un ajuste perfecto, si bien esto tiene un mérito relativo. El análisis armónico sólo será de utilidad si conseguimos explicar una parte importante de la varianza de X con un reducido número de armónicos. La estimación de ap y bp puede llevarse a cabo por MCO. Las frecuencias de Fourier definen movimientos independientes(ortogonales), lo que evita el problema de la multicolinealidad y permite estimar los coeficientes de cada uno de los armónicos de forma separada o conjunta a voluntad. Es decir que si por ejemplo estuviésemos interesados en a3 y b3 podríamos calcular la regresión considerando sólo esas variables u obtenerlas de otra regresión en la que además se incluyesen otras frecuencias.. Se demuestra que,

a0 X
T

t

(2)

2

es decir que a0 es la media de la serie, y

ˆ ap 

2 X cos pw0t T t

(3) (4)

ˆ 2 bp   X t sin pw0t T

Con estas fórmulas podemos calcular también los coeficientes de cualquiera de los armónicos (frecuencias de Fourier). Un resultado de gran interés es el que proporciona el teorema de Parseval. Afirma que la varianza total de la serie puede descomponerse...