Análisis combinatorio

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Análisis combinatorio

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS ANÁLISIS COMBINATORIO
ANÁLISIS COMBINATORIO
CONTEO Para calcular la cantidad de elementos que tienen los conjuntos formados con ciertas reglas, sin que sea necesario saber enumerarlos uno a uno se utiliza el principio fundamental del conteo. Este principioestablece que si un evento puede tener lugar de m maneras diferentes y, luego de sucedido éste, un segundo evento puede suceder de p maneras distintas, el número de formas diferentes en que pueden realizarse los dos eventos es:

m⋅ p
Ejemplo. Si en una reunión hay 3 hombres y 4 mujeres, ¿de cuántas maneras es posible seleccionar una pareja hombre-mujer? Solución. Si h1 , h2 , h3 son los hombres yparejas en las que hombre es

m1 , m2 , m3 , m4 son las mujeres. Se aprecia que puede haber cuatro

h1

es el hombre, otras cuatro en las que

h2

es el hombre y otras cuatro en las que el

h3 . De esta manera se concluye que el número de parejas es 4 + 4 + 4 = 12 .

Si se establece que

e1

es el evento "elegir un hombre" y

e2

al evento "elegir una mujer". Como

e1puede

suceder de tres maneras diferentes y

e2

de cuatro maneras diferentes, la cantidad de maneras de formar

una pareja (esto es que sucedan los eventos Ejemplo.

e1

y

e2 ) es 3(4) = 12 .

Consideremos el conjunto

A = { , 2, 3, 4, 5} , 1 formar con los elementos del conjunto A ?

¿cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden

Solución. La primera cifra puedeelegirse de cinco maneras diferentes, la segunda puede elegirse de cuatro maneras diferentes (no se puede usar el número colocado en el primer lugar), la tercera de tres maneras diferentes, la cuarta de dos maneras y la quinta de 1 manera. Aplicando el principio fundamental de conteo, se obtiene:

5(4)(3)(2)(1) = 120.

Ejemplo. El juego de placas de un automóvil consta de tres dígitos de loscuales el primero no es cero, seguidas de tres letras diferentes. ¿Cuántos juegos de placas pueden formarse? (se consideran 26 letras y 10 dígitos). Solución. La primera letra puede elegirse de 26 maneras diferentes, lo mismo sucede para las otras dos. En el primer lugar de las cifras pueden colocarse 9 dígitos porque el cero no puede estar en el primer lugar. En el siguiente lugar pueden colocarse 10dígitos y lo mismo sucede en el tercer lugar. Aplicando el principio de conteo la cantidad pedida será:

9(10)(10)(26)(26)(26) = 15'818,400.

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FACTORIAL DE UN NÚMERO Se define como factorial de un número natural preceden. Se denota mediante

n

al producto de

npor todos los números que le

n! :

n!= 1(2)(3)(4) ⋅ ⋅ ⋅ (n − 1)(n)
Por definición, el factorial de cero es uno: 0!≡ 1 El factorial de un número crece de forma muy considerable. Ejemplos:

3!= 1(2)(3) = 6 5!= 1(2)(3)(4)(5) = 120 8!= 1(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) = 40,320 14!= 1(2)(3)(4) ⋅ ⋅ ⋅ (13)(14) = 87,178'291,200

ORDENACIONES Sea un conjunto de p elementos distintos. Si de ellos se tomangrupos ordenados de elementos diferentes, a cada una de estas disposiciones se les llama ordenaciones de p elementos tomados de q en q . Esto significa que son las distintas agrupaciones que se pueden formar de manera que dos diferentes agrupaciones difieran de un elemento o en su orden. Ejemplo. Dado el conjunto M={a,b,c,d} se quiere formar los tríos ordenados de elementos sin repetir. ¿De cuántasmaneras se puede hacer? Solución. Se forma una tabla con tres columnas. En la primera se ponen todos los elementos del conjunto. En la segunda, los pares derivados de cada elemento y en la tercera, las tercias derivadas de cada par:
ab a ac ad ba b bc bd ca c cb cd da d db dc abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb

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