Análisis De Curvas

Curva
En matemáticas el concepto de curva (o línea curva) es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de una círculo de radio de curvatura infinito. Todas las curvas tienen dimensióntopológica igual a 1.

* Curva simple
Se define el concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo punto p existe un Ω entorno abierto de p para el cual  admite una representación de clase  con .
* Curva plana
Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana.
*Curva diferenciable
Una curva se llama diferenciable cuando la función  es diferenciable. Si además la función anterior es inyectiva en el intervalo  entonces la curva admite un vector tangente único en cada punto y es rectificable (lo cual significa que su longitud de arco está bien definida y es posible calcular su longitud. La curva  :
es continua pero no diferenciable, por lo que su longitudentre el punto (0,0) y cualquier otro punto de la misma no puede calcularse.

* Curva cerrada
Una curva diferenciable es cerrada cuando  cuando . Si además, la función  es inyectiva en el intervalo  entonces se dice que la curva es una curva cerrada simple. Una curva cerrada simple es homeomorfa al círculo , es decir, tiene la misma topología de un anillo. La curva  dada por:

es unacurva diferenciable cerrada, de hecho dicha curva resulta ser una elipse de semiejes a y b.
* Curva suave
Se le llama curva suave a la curva que no posee puntos angulosos. Un ejemplo puede ser el círculo, la elipse, la parábola, etc. Una curva que no es suave puede ser, por ejemplo, una cicloide.

Formalmente, dada una curva C representada por la ecuación paramétrica
enun intervalo I cualquiera, es suave si sus derivadas son continuas en el intervalo I y no son simultáneamente nulas, excepto posiblemente en los puntos terminales del intervalo.
* Suave por partes
Una curva C es suave por partes si es suave en todo intervalo de alguna partición de I, es decir que el intervalo puede dividirse en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales C es suave.

 La simetríade una curva con respecto a los ejes coordenados y al origen
Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando, para cada punto de la curva le corresponde otro punto tal que estos dos puntos son simétricos al eje.
Simetría con respecto al eje X
Teorema: Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y se reemplaza por la variable -y, la curva es simétricacon respecto al eje X.

Simetría con respecto al eje Y
Teorema: Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x se reemplaza por la variable -x, la curva es simétrica con respecto al eje Y.

Una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría O, cuando para cada punto de la curva le corresponde otro punto tal que estos dos puntos son simétricos con respecto a O.
Simetríacon respecto al origen
Teorema: Si la ecuación de una curva no se altera al reemplazar las variables x y y por las variables -x y -y respectivamente, la curva es simétrica con respecto al origen.

Ejemplo |
Determina si la siguiente curva es simétrica con respecto alguno de los ejes coordenados:x2-3y=0 |
Pasos | Procedimiento |
Se debe sustituir primeramente x por –x para ver si laecuación no se altera. | Como la ecuación original no se altera, esto nos indica que la curva es simétrica con respecto al eje y. |
Ahora se sustituye en la ecuación y por –y. | Como la ecuación original es alterada en el signo del segundo término, esto quiere decir que la curva no es simétrica con respecto al eje x. |
Resultado |
La curva es simétrica con respecto al eje y y su gráfica...