Análisis De Sensibilidad

Análisis de Sensibilidad
Después de que se ha obtenido la solución óptima de un problema
de programación lineal (PL), puede darse el caso de que uno o varios
parámetros de la formulación original cambien dando origen a un nuevo
problema, sin embargo mediante la aplicación de la técnica llamada análisis
de sensibilidad no será necesario volver a resolver el problema desde el
principio.
La utilidaddel análisis de sensibilidad en los modelos de PL consiste, en
que permite una interpretación razonable de los resultados ya obtenidos. En
muchos casos la información generada por la aplicación del análisis de
sensibilidad es más importante y mucho más informativa que el simple
resultado obtenido en la solución óptima. En cierto sentido, el análisis de
sensibilidad convierte la solución estáticade los modelos de PL. en un
instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes.
El nuevo problema puede diferir del original en uno ó varios de los
siguientes cambios que pueden ocurrir simultáneamente:

1. Cambios en la disponibilidad de recursos (vector bi).
2. Cambios en los costos o utilidades unitarias (vector Cj).
3. Cambios en los coeficientes tecnológicos (matriz aij).
Laestructura inicial de una tabla simplex es la siguiente:
1
0

-Cj = Vector de costos
o utilidades
aij = Matriz de
coeficientes
tecnológicos

0
I = Matriz Identidad

Valor de Z = 0
bi = Vector de
disponibilidad de
recurso

Y la estructura óptima de una tabla simplex es:
1
0

CB B-1 A-C
B-1 A

CB B-1
B-1

Z = CB XB = CB B-1 b
XB = B-1 b

El análisis de sensibilidad se basa en el conocimiento de la tablainicial simplex y
en la aplicación de las propiedades de la estructura óptima de una tabla simplex.

1

Cambios en la disponibilidad de recursos (vector bi).
Maximizar Z= CjXj
Sujeta a:
AijXj= bi
Xj0
Los valores óptimos de las variables de un modelo de PL está determinada
por la propiedad XB=B-1b =0 y para Z=CBXB. Al experimentar un cambio en el
vector b* XB cambia a:
B

Si

B

= B-1b*

0entonces

la

nueva solución será óptima.

Si
B #0 entonces la nueva solución
B no es factible y será necesario
aplicar
el metódo
dual-simplex para
restaurar
la factibilidad.
El método dual-simplex, en caso de aplicarse, deberá hacerse a la tabla
óptima

del

problema

original,

cambiando

la

columna

XB por

B

.

Ejemplo 1.
Supóngase que el problema original consiste en producir un volumen X de
unproducto químico A que se vende a $5/litro y otro volumen Y de un
producto químico B que se vende a $3/litro. Dos tipos de restricciones se
consideran en este ejemplo, personal y costo de producción. En lo que se
refiere a la primera restricción se tiene un máximo de 15 personas, mientras
que en lo segundo se tiene un máximo de $10/hora de trabajo. Los
coeficientes tecnológicos están dados por:Personal
Costo de Producción

Producto Químico
A
3
5

Producto Químico
B
5
2

Si la variable X1 representa el número de litros del producto químico A a ser
producidos por hora y X2 el del producto químico B, el problema lineal
original y su correspondiente solución inicial y solución óptima son:

2

Maximizar.
Z= 5X1 + 3X2
S.A.
3X1 +5X2 ≤ 15
5X1 +2X2 ≤ 10
X10 ,

X20

B-1
Si se decide experimentarun cambio en el vector
a
debido a una
depresión económica afectando al número de empleados y al costo máximo de
producción ¿Cuál es el nuevo problema y cuál es la nueva solución óptima?
Solución:
El nuevo problema a resolver es:
Maximizar. Z= 5X1 + 3X2
S.A.
3X1 +5X2
5X1 +2X2
X10 ,

≤5
≤5

X20

Aplicando la técnica de análisis de sensibilidad no es necesario volver a resolver el
problema desde elprincipio, lo primero que debemos definir es la propiedad que
aplica, para los cambios en el vector b siempre se aplicará la siguiente propiedad:

B

= B-1b*

Identificando valores:
3

B-1 =
b* =
Sustituyendo valores:

B

=

=

Como

B

=

la solución sigue siendo factible.

La solución óptima para el nuevo modelo es:
=CB

optima

B

=CBB-1b*

Identificando valores:
CB =

B

=

CBB-1 =

b* =...