Análisis Matemático Evaluación

1) a. Dar la definición formal de derivada de una función en un punto y explicar su significado geométrico.
b. Probar que [F(x) + G(x)] ‘ = F(x)’ +G(x)’
c. Demostrar que si F(x)=sen(x) entonces F’(x)=cos(x)
d. Dar la definición formal de límite y demostrar que limx1 (2x-3=-1)
2) Decir si lassiguientes proposiciones son verdaderas o falsas justificando la respuesta en todos los casos. En caso de ser falsa encontrar un contraejemplo.
a. Si F(x)es continua en x=a entonces es derivable en dicho punto.
b. Si a∫b F(x) dx=0 entonces F(x)=0 para todo x perteneciente al intervalo [a;b].
c. Sea F(x) >0 en un intervalo [a;b] entonces siempre podemos afirmar que a∫b F(x) dx > 0 en [a;b].
3) Analizar la derivabilidad y continuidad de F(x)=x3-1 en x=1x-1
justificando todas las afirmaciones realizadas.
4) Indicar los puntos críticos, extremos, puntos de inflexión, intervalos de concavidad deF(x)=x2.ln x
5) Resolver SOLO UNO de los siguientes ejercicios:
a. Hallar el triangulo de área máxima entre todos aquellos que tengan perímetro 24.
b. Sequiere alambrar con 400 metros de alambre un campo rectangular adyacente a un muro. Hallar el de mayor área. (nota: el lado adyacente al muro no necesitaalambrado.)
6) a. Hallar el área de la región comprendida entre las curvas y=x, y=1/x2, x=2 y el eje x.
b. Determinar m de tal forma que la regiónsobre la curva y=mx2 (m>0) a la derecha del eje y, y bajo la recta y=m tenga un área de 10 u2. Realizar un grafico que oriente la resolución del problema.