Análisis Matemático III


SESIÓN N° 01 FUNCIONES REALES

FUNCIONES

DEFINICIÓN.- Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamamos función definida en A y con valores en B, o simplemente función de A en B a toda correspondencia f que asocia a cada elemento, x  A un único elemento, y  B.

NOTACIÓN FUNCIONAL:


Se lee f es función de A en B.

CONDICIÓN DE EXISTENCIA Y UNICIDAD:

Sea: f : A  B
I.Para cada x  A, ! y  B / (x;y)  f.
II. Si: (x; y)  f  (x; z)  f  y = z

Ejemplo:


f = {(1,a); (2,b); (3,b); (4,c)}

Cumple la definición  es función.

En cambio:


f = {(5,a); (9,b); (9,c); (13,a)}

No se cumple la condición de unicidad  no es función.

Observación:
No deben existir dos o más pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento; en casoexista de acuerdo a la definición, las segundas componentes tendrán que ser iguales si no es así entonces no es función.

Ejemplo:
F = {(3,a-3); (5,7); (3,8); (5,b-1); (2,9)}

Es función siempre y cuando:
a - 3 = 8  b - 1 = 7
Es decir: a = 11  b = 8.

Dominio de una función: Se llama así al conjunto de todas las primeras componentes pertenecientes a una función f, y sedenota de la siguiente manera: Df ó Dom f.
Df = {x  A/ ! y  B / (x,y)  f}

Rango de una función: Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que forman la función f y se denota; Rf ó Rang f.
Rf = {y  B/ x  A  (x,y)  f}

Ejemplo:
Sea: f = {(1,2); (4,7); (5,4); (9,10)}

 Df = {1, 4, 5, 9}
Rf = {2, 7, 4, 10}

Regla de correspondencia.- Es larelación que existe entre las primeras y segundas componentes de una función.

Donde:
x : variable independiente
y: variable dependiente

Sea la siguiente función:
f = {(1,1); (2,4); (3,9); (4,16)}

Luego:
f(1) = 1; f(2) = 4; f(3) = 9; f(4) = 16 ..........
En general: f(x) = x2 ; x  N

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Sea f una función de A en B.

(f: A  B),si: A  R B  R

diremos que f es una función real de variable real.

Gráfica: Si f es una función real de variable real, la gráfica de f es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a f.

Gráf. = {(x,y)  R2 / y = f(x), x  Df}


Teorema.- Si f es una función de R en R  toda recta paralela al eje “y” corta la gráfica a lo más en un punto.FUNCIONES ESPECIALES

1. Función Constante
Regla de Correspondencia: f(x) = C;

Df = R, Rf ={C}




2. Función Identidad
Regla de correspondencia: f(x) = x ó I (x) = x






3. Función Valor Absoluto




4. Función Lineal

Regla de correspondencia

f(x) = ax + b; a  0




5. Función cuadrática

Regla de correspondencia

f(x) = ax2 + bx + c; a  0 , {a, b,c}  R
Df = R

Toda función cuadrática se puede llevar a la forma:
f(x) = a(x-h)2 + k

Donde: V = (h, k) vértice.





6. Función Raíz Cuadrada
Regla de correspondencia: F(x) =


7. Función Signo


Regla de correspondencia



Dom F = R; Rang F = {-1, 0, 1}



11. Función Máximo Entero

* Regla de correspondencia:

Se define el MÁXIMO ENTERO de xcomo el mayor de todos lo números enteros menores o iguales que x y se denota por es decir:



Ejemplos:









esto significa que:
*
* Luego la función MÁXIMO ENTERO se define así:







con lo cual: Dom = IR ; Ran = Z

Propiedades
1.
2.

3.
4.
5.
6.


En general ;


LABORATORIO

NIVEL INICIAL

01. Sea A={1,2,3} y f una funcióndefinida en :
A (F : A  A) por:
F = {(1;3) , (2;a) ; (a+1 ; 2) , (1 ; b-1)}
Hallar: F(1) - F(2) + F(3)

a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2

02. Si:
F={(2;5) , (-1;-3) ; (2;2a-2b), (-1; b-a), (a+b2 ; a)}

es una función. Hallar:
E = a .b + n(D) + n(R)

a) 4 b) 8 c) 6
d) -8 e) N.a.

03. Dada la función “E” de A en A definido por el diagrama sagital mostrada el rango de “E” es:...