Análisis transformación isoparamétrica

Ejercicio 2

Se nos presenta una serie de elementos de un mallado dados por la siguiente
tabla de conectividad:

Elem
T1
T2
T3

x1
3
0
0

y1
0
0
0

x2
3
1
3

y2
1
0
0

x3
0
2
1

y3
1
2
1

x4
0
0
0

y4
0
1
2

1)Hallar las transformaciones Fj , el jacobiano de cada transformaci´on, as´ı como
distinguir entre aquellas transformaciones que sean inyectivas de las que no lo
sean.
Podr´ıamos analizarcada elemento por separado, averiguar las funciones base
locales para cada uno de ellos y resolver el problema de interpolaci´on sin preocuparnos por convertir la geometr´ıa en un dominio isoparam´etrico. Sin embargo se
tratar´ıa de un m´etodo tedioso que implicar´ıa un c´alculo personalizado para cada
geometr´ıa. Obviamente ser´ıa de escasa utilidad pr´actica y por tanto basaremos
todo el c´
alculointerpolatorio al cuadril´atero de refencia de ejes locales r y s.
Conviene destacar que primero se intentar´a buscar una transformaci´on isoparam´etrica
que mediante sencillos c´
alculos expondremos de la misma forma que una af´ın,
siempre que sea posible. Los v´ertices del cuadrado de referencia son:
a
ˆ1 = (−1, −1)
a
ˆ2 = (1, −1)
a
ˆ3 = (1, 1)
a
ˆ4 = (−1, 1)
buscamos una transformaci´
onisoparam´etrica de la forma:
Fj :

Tˆ −→ Ti
x
ˆ −→ x ∈ T

x=

NE
i=1

λˆi (r, s)xki

y=

NE
i=1

λˆi (r, s)yik

(1)
Donde (xi , yi ) son las x-y coordenadas de los correspondientes nodos k del elemento T, y las λˆi (r, s) son las funciones base locales de Tˆ que son definidas a
continuaci´
on:
1
λˆ1 (r, s) = (1 − r)(1 − s)
4

1
λˆ2 (r, s) = (1 + r)(1 − s)
4
1
λˆ3 (r, s) = (1 + r)(1 + s)
4
1
λˆ4 (r, s)= (1 − r)(1 + s)
4
Si es posible, las transformaremos a la forma de transformaci´on af´ın:
Fj (ˆ
x ) = Aj x
ˆ + bj
De tal forma que
a
ˆi −→ ai 1 ≤ i ≤ 4
El c´
alculo del determinante de la matriz jacobiana de la transformaci´on lleva
impl´ıcito algo m´
as de c´
alculo.
En primer lugar las derivadas con respecto a las coordenadas globales x-y que
aparecen en la formulaci´
on d´ebil del problema seeval´
uan aplicando la regla de
la cadena. Se tiene:
∂ ∂r
∂ ∂s
∂
=
+
∂x
∂r ∂x ∂s ∂x
∂
∂ ∂r
∂ ∂s
=
+
∂y
∂r ∂y ∂s ∂y
o bien, escrito de forma matricial
 ∂   ∂r
∂x



∂
∂y

=

∂x

∂s   ∂ 
∂x
∂r

∂r
∂y

∂s
∂y



∂
∂s



 = [J]−1 

∂
∂r
∂
∂s




(2)

Siendo [J]−1 la inversa de la matriz jacobiana de la transformaci´on. Al tener
definida la transformaci´
on de coordenadas seg´
un (1),el c´alculo directo de [J]−1
exige la evaluaci´
on de la inversa de esa transformaci´on lo cual es dif´ıcil llevar a
cabo de una forma expl´ıcita.
Sin embargo, esta dificultad se evita calculando [J]−1 a partir de la matriz
jacobiana [J] obtenida como relaci´on entre las derivadas en coordenadas normalizadas y las derivadas en coordenadas globales. Se tiene la siguiente relaci´on
 ∂   ∂x ∂y  ∂ 
∂
∂r



∂
∂s

∂r

=
∂x
∂s

∂x

∂r
∂y
∂s



∂
∂y

∂x

 = [J] 

∂
∂y



(3)

El c´
alculo de [J] ahora s´ı es inmediato a partir de la transformaci´on (1).
A su vez, de (3) se puede deducir que
∂
 ∂y
 ∂ 
− ∂x
∂x
∂s
∂s
∂r
 = 1 
 
(4)
det[J]
∂
∂y
∂
∂x
− ∂r
∂y
∂s
∂r
en donde el determinante de la matriz jacobiana, tambi´en conocido como
jacobiano, tiene la siguiente expresi´on|J| = det[J] =

∂x ∂y ∂x ∂y
−
∂r ∂s
∂s ∂r

(5)

El jacobiano se puede interpretar geom´etricamente en dos dimensiones como
la relaci´
on entre ´
areas infinitesimales en puntos (x(r, s), y(r, s)) y (r,s), es decir
dxdy = |J|drds
Para que esta relaci´
on este definida correctamente el jacobiano ha de ser
positivo lo cual se cumple siempre y cuando la transformaci´on (1) sea u
´nica, es
decir, acada coordenada del elemento en el sistema global x-y le corresponda
una y s´
olo una coordenada en el sistema local r-s. Se puede dar la situaci´on en
la cual el jacobiano sea nulo o negativo. Lo primero sucede para elementos muy
distorsionados mientras que lo segundo es caracter´ıstico de elementos T en los
cuales la numeraci´
on de los nudos se hace en sentido contrario a la del elemento...