Análisis y solución de funciones polinomicas

Analizar la gráfica de la función y = x 2 + 2 x − 4 . R. Para graficar la función debemos encontrar 2 cosas: - Punto de vértice - Puntos de intersección con los ejes Vértice. b 4c − b 2 La ecuacióndebe quedar de la forma y = ( x + ) 2 + . Este paso podemos 2 4 realizarlo de 2 formas. Primero, simplemente reemplazando los valores b y c en la ecuación ya escrita, o bien, desarrollando la ecuaciónoriginal para encontrar los puntos pedidos. Primer paso. Haciendo la comparación de las 2 ecuaciones y = x 2 + bx + c llegamos a la conclusión de que b = 2, c = −4 . Ahora bien, solo nos quedareemplazar en
b 2 4c − b 2 y = (x + ) + los valores. Esto queda: 2 4 2 4 ⋅ (−4) − (2 2 ) − 16 − 4 y = (x + )2 + = ( x + 1) 2 + 2 4 4 20 y = ( x + 1) 2 − 4 2 y = ( x + 1) − 5 y = ( x + 1) 2 − 5 Es laecuación del vértice, donde x = −1, y = −5 . Por lo tanto el vértice de la parábola se encuentra en el punto v0 (−1,−5)

Tenemos

y = x 2 + 2x − 4

Segundo paso.
Trabajaremos con la ecuación y = x 2 +2 x − 4 . Completaremos cuadrado de binomio con la los valores x 2 + 2 x . Aquí claramente nos falta el último término para expresar la ecuación de la forma y = x 2 + 2ax + a 2 . Entonces hacemos losiguiente: ( x + a ) 2 = x 2 + 2ax + a 2 x 2 + 2ax + a 2 = x 2 + 2 x + a 2 2ax = 2 x despejando llegamos a a= . 2x =1 2x

Se debe cumplir que

Esto quiere decir que el cuadrado de binomiocorrespondiente a los valores x 2 + 2 x Es ( x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1 .

Ahora, en la ecuación original tenemos:

y + 1 = x2 + 2x + 1 − 4 y = ( x + 1) − 5
2

Por propiedades de las ecuaciones, cada vezque se quiera quitar o agregar algo, debe realizarse a ambos lados de la ecuación. Por eso, como sumamos 1 para llegar a x 2 + 2 x + 1 , también debemos hacerlo al otro lado, para tener y+1. Comopodemos observar, con este método llegamos a la misma ecuación encontrada en el paso anterior, siendo una forma igual de válida para hallar puntos del vértice. En conclusión, queda a juicio del...