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Vectores
Cuando vas en coche por una carretera, una autovía o una autopista, habrás observado que aparecen unas informaciones, representadas por flechas, que indican unas direcciones.
De igual forma, en cada vía de circulación están delimitados unos carriles para circular en un sentido o en otro.
De estos ejemplos podrás deducir que hay magnitudes en las que la dirección y el sentidodesempeñan un papel muy importante: estas son magnitudes dirigidas o vectoriales y se expresan mediante vectores.
Representación de un vector
-Gráficamente
Un vector se representa gráficamente como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento.
-Analíticamente
Lo expresamos con las dos letras mayúsculas de losextremos o con la letra minúscula, en ambos casos, una pequeña flecha encima de las letras para indica su carácter vectorial. A continuación, entre paréntesis, los componentes horizontales y vertical del vector
Elementos de un vector
En un vector se pueden distinguir los siguientes elementos:
-Punto de aplicación del vector: es el origen del vector.
-Dirección del vector: coincide con ladirección de la recta que lo contiene. Por tanto, la dirección del vector AB es la misma que la del vector BA, ya que una recta tiene una sola dirección.
-Sentido del vector: es la orientación que tiene el vector en las rectas. Una recta tiene dos sentidos opuestos entre sí.
El sentido del vector viene indicado por la punta de la flecha, así, el sentido del vector
AB es opuesto al sentido delvector BA.
-Modulo del vector: es la longitud del segmento que lo representa gráficamente e indica la intensidad o el valor numérico de la medida de la magnitud. Para indicar el modulo de un vector se escribe este entre dos barras verticales:
Modulo de AB AB
Componentes de un vector
Podemos definir la posición de un vector en el plano mediante sus componentes referidas a unos ejes de coordenadas.Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontal y verticalmente desde su origen asta su extremo. Para ello hallamos la diferencia entre las coordenadas del punto extremo y el punto origen del vector.
Por ejemplo: AB (8-2, 11-3) = AB (6,8)
Modulo de un vector
Conocidas las componentes de un vector, podemos calcular el valor de su modulo. Para ello bastacon hallar la hipotenusa del triangulo rectángulo cuyos catetos son las componentes del vector. En los vectores de la pagina anterior:
AB = 36 + 64 = 10 CD = 9 +16 = 65
En general:
AB = ( Xb - Xa) + (Yb - Ya)
Equivalencia de vectores
Dos vectores son equipolentes cuando tiene el mismo modulo, la misma dirección y mismo sentido.
Para que dos vectores sean equipolentes,no es necesario que tenganel mismo punto de aplicación.
Si dos vectores tienen el mismo modulo, la misma dirección, pero sentido contrario, decimos que son vectores opuestos.
Los vectores AB y CD son equipolentes y escribimos: AB = CD.
Los vectores MN y PQ son opuestos y escribimos: MN = - PQ
Cuando un vector se traslada paralelamente a si mismo se obtiene un vector equipolente al primero.
Suma de vectores
-Gráficamente:
Para sumar gráficamente dos vectores trasladoamos uno de ellos paralelamente a si mismo hasta hacer coincidir su origen con el extremo del otro vector. La vector suma sera el que se obtiene tomando como origen el del ventor fijo y como extremo el del que hemos trasladado.
También podemos obtener el vector suma haciendo coincidir los orígenes de los dos vectores en un origen común yconstruyendo con ellos un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo representa el vector suma de ambos vectores.
- Analíticamente:
Sean los vectores u (3,8) y v (7,-3).
Las componentes del vector suma de estos dos vectores serán iguales a la suma de las componentes respectivas de los vectores.
u (3,8) + v (7,-3) = w (3+7,8-3) = w (10,5)
Diferencia de vectores
- Gráficamente:
Para hallar la...