Apartado1

´Indice
1 Nociones fundamentales de C´
alculo de Probabilidades
1.1

1.2

1.3

1.4

Introducci´on. Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1

1.1.1

Determinismo e incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1

1.1.2

Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Espacio muestral ysucesos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

1.2.1

Espacio muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

1.2.2

Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

1.2.3

Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

1.2.4

´
Algebra
desucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8

Definici´on de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9

1.3.1

Introducci´on. Definici´on frecuentista de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . .

1.9

1.3.2

Definici´on axiom´atica de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10

Probabilidad enespacios muestrales finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13
1.4.1

1.5

1.1

Regla de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16

Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.18

0.0

Tema 1

Nociones fundamentales de C´
alculo de
Probabilidades

1.1

Introducci´
on. Experimentosaleatorios

La teor´ıa de la probabilidad se desarroll´
o partiendo de la teor´ıa matem´
atica de los juegos de
azar, desarrollada hace cerca de tres siglos. La probabilidad es un campo muy importante de las
matem´aticas y sus aplicaciones se extienden a otras ramas de las ciencias.
El objetivo de este tema es dar a conocer la teor´ıa axiom´
atica, tal y como se conoce hoy, iniciada
por Kolmogorov en sutrabajo Foundations of the Theory of Probability (Berl´ın, 1933). Se presentar´an
los sucesos aleatorios como conjuntos, y la probabilidad como una medida de la “incertidumbre” de
estos conjuntos. En particular, presentaremos la conocida regla de Laplace, para obtener estas medidas
de probabilidad.

1.1.1

Determinismo e incertidumbre

A cualquiera que preguntemos cu´anto tiempo tardar´ıamos enrecorrer los 200 kil´
ometros que separan Sevilla de M´alaga, si nos desplazamos con velocidad constante de 100 kms/hora, nos contestar´a
sin dudar que 2 horas. Su seguridad en responder se tornar´ıa indecisi´
on si ante una urna con bolas
blancas, azules y rojas, en cantidades b = 20, a = 30 y r = 50, respectivamente, le preguntamos de
qu´e color ser´a la bola si efectuamos una extracci´
on alazar. Cualquiera conoce la distinta naturaleza
de ambos fen´omenos.
• El primero pertenece a los que podemos denominar deterministas, aquellos en los que la
relaci´on causa-efecto aparece perfectamente determinada. En nuestro caso concreto, la conocida
ecuaci´on e = v × t describe dicha relaci´
on. “Si en un ordenador encendido se estropea el
u
´nico ventilador que tiene, la temperatura delprocesador subir´
a”, este es otro claro ejemplo de
fen´omeno determin´ıstico.
• El segundo pertenece a la categor´ıa de los que denominamos aleatorios, y se caracteriza por
que, aun repitiendo en las mismas condiciones la extracci´
on de la bola, el resultado variar´a de
unas ocasiones a otras.
1.1

Tema 1. Nociones fundamentales de C´alculo de Probabilidades

La u
´nica forma de abordar con rigor elproblema que la incertidumbre de los fen´
omenos aleatorios
comporta es tratar de medirla. La pregunta que surge es, ¿c´
omo medir la incertidumbre? De las
posibles respuestas, s´olo una nos parece correcta: mediante la probabilidad.
Nuestro principal objetivo es desarrollar el arte de describir la incertidumbre en t´erminos de modelos probabil´ısticos, y el uso del razonamiento probabil´ıstico. En...