Apendice matematico

APÉNDICE MATEMÁTICO

Vamos a refrescar ciertos conocimientos matemáticos elementales que se aprenden en el
bachillerato y que se van a utilizar frecuentemente a lo largo de este curso de Introducción a
la Microeconomía.
Como es lógico, vamos realizar un tratamiento informal y no exhaustivo del cálculo diferencial e integral más elemental, por lo que en ningún caso el contenido de esteapéndice matemático puede sustituir el estudio del material didáctico de la asignatura Matemáticas para
economistas: cálculo, que se imparte en el primer cuatrimestre del primer curso del Grado en
Economía.
El contenido de este apéndice hay que entenderlo como una tarjeta de consulta rápida, para refrescar los conocimientos matemáticos correspondientes aprendidos en el bachillerato, a
medida que sevan necesitando cuando se aborda la lectura de los apuntes del curso.
Por ello, en este apéndice se pone más énfasis en la interpretación y utilidad práctica del
instrumental matemático que se describe, que en el desarrollo riguroso y la demostración de
ideas que se transmiten. Para esto último lo recomendable es recurrir a un libro de texto sobre
la materia.
Este apéndice matemático versasobre funciones de una variable y se centra en los siguientes puntos:
a) La interpretación de la derivada de la función.
b) Máximos y mínimos libres, es decir, no condicionados al cumplimiento de alguna
restricción adicional.
c) Concavidad y convexidad de una curva.
d) Cálculo integral elemental.
Finalmente, este apéndice rememora la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos, o cuandopasa por un punto y se conoce el valor de su pendiente. Conocimientos todos
ellos que se imparten en el bachillerato.

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A.1. Interpretación de la derivada de una función
Tomemos una función genérica con una variable independiente:

y = f ( x)
La derivada de esta función se expresa frecuentemente con la siguiente notación:
dy
df ( x)
= y′ f ′( x=
=
)
dxdx

No vamos a entrar en el concepto de derivada, sino a enfatizar que la derivada de una función en un determinado punto no es más que la pendiente de la curva que representa la función en ese punto, tal como puede observase en la Figura A.1.
Lógicamente el término función y curva son sinónimos, puesto que una curva no es más
que la representación gráfica de una función matemática.

yPendiente: dy/dx
y=f(x)
Tangente
dy
dx

x
Figura A.1. La derivada de una función en un punto
Dado esto, es fácil inferir que si esta derivada es positiva en un determinado punto o intervalo, la función o curva es creciente en ese punto o intervalo, porque la pendiente de la curva es
positiva.
Y si esta derivada es negativa en un determinado punto o intervalo, la función o curva esdecreciente en ese punto o intervalo, porque la pendiente de la curva es negativa.

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En cambio, si la derivada de la función es cero en un determinado punto, entonces es que la
función no es creciente ni decreciente en ese punto, sino que estamos ante lo que se denomina
un máximo o un mínimo local de esta función.
A.2. Máximos y Mínimos libres
Una función puede tenervarios máximos y mínimos locales. Nosotros, puesto que no pretendemos ser ni exhaustivos y ni absolutamente rigurosos, nos centraremos en funciones con
un único máximo o mínimo local, respectivamente, que, por tanto, constituiría a su vez un
máximo o mínimo global de la función.
Lógicamente la condición necesaria para tener un máximo o mínimo local es, como puede
inferirse fácilmente delapartado anterior, que la primera derivada de la función se anule. Esto
es lo que se conoce como la condición de primer orden para tener un máximo o un mínimo
local.
Pero esta condición no es suficiente. Se requiere además el cumplimiento de una condición de segundo orden en el entorno del punto en que se anula la primera derivada de la función, que para la existencia de un máximo local consiste en...