Apendice Thompson

ApÉNDICES
ApÉNDICES
Los números rreaLes y Las rectas rreaLes
Los números eaLes Las rectas eaLes

A .l

Esta sección revisa los números reales, las desigualdades, los intervalos y los valores absolutos.
números reales,
valores absolutos.
Esta sección
desigualdades,
intervalos

Números reales
Números reales
La mayor parte del cálculo se basa en las propiedades del sistema de losnúmeros reales. Los
parte
basa
propiedades
números
La
cálculo
sistema
números reales son números que pueden expresarse como decimales, tales como
pueden expresarse
números
son números
decimales,
3
4

- 0.75000 . ..
-0.75000 ...

1
3

0.33333 . ..
0.33333 ...

V2=
V2=

1.4142 ...
1.4142 . ..

Los puntos suspensivos ... en cada caso indican que la sucesión de dígitosdecimales continúa
Los puntos suspensivos
cada
indican
sucesión
dígitos decimales continúa
indefinidamente. Toda expansión decimal concebible representa un número real, aunque alnúmero
indefinidamente.
expansión decimal concebible representa
aunque
ejemplo,
decimales infinitos
...
gunos números tienen dos representaciones. Por ejemplo, los decimales infinitos .999 ... Y
númerosrepresentaciones.
1.000 ... representan el mismo número real 1. Un enunciado similar se cumple para cualquier
... representan mismo número
1. Un enunciado similar
cumple para cualquier
número
nueves.
número con una sucesión infinita de nueves.
sucesión infinita
Los números reales pueden representarse de manera geométrica como puntos en una recta
números reales pueden representarse
manerageométrica
puntos
numérica denominada recta real.
numérica denominada recta
Reglas para desigualdades
Reglas para desigualdades
I

Si a,
son números reales, entonces:
Si a, b y e son números reales, entonces:
l.a 1/5.
invierten el sentido de la desigualdad. Por ejemplo, 2 < 5, pero - 2 > - 5 Y 1 /2 > 1 /5 .
propiedad
completez del sistema
La propiedad de completez del sistema de los númerosreales es más profunda y dificil de
números reales
profunda
definir
embargo,
definir de manera precisa. Sin embargo, la propiedad es esencial para la idea de límite (capímanera precisa.
propiedad es esencial para
existen suficientes números reales para "completar"
tulo 2). De manera informal, eso dice que existen suficientes números reales para "completar"
manera informal,
el sentidoMuchos teoremas
la recta real, en el sentido de que no existen "agujeros" o "huecos" en ella. Muchos teoremas
no existen "agujeros" "huecos"
cálculo
cumplirían si el sistema
los números reales
completo.
del cálculo no se cumplirían si el sistema de lo s números reales no fuera completo. El tema se
resuelve mejor en un curso más avanzado, pero el apéndice 6 sugiere lo que está incluido yavanzado, pero el apéndice
sugiere lo que
incluido
resuelve mejor
se construyen
números
cómo se construyen los números reales.

AP-l
AP-l

AP-2

Apéndices
Apéndices
istinguimos
subconjuntos especiales
números
Distinguimos tres subconjuntos especiales de números reales.
1.
1.
2.
2.
3.
3.

Los números naturales,
1,2,3,4,
Los números n aturales , a saber, 1, 2, 3, 4, ...Los enteros, saber, O, ±1, ±2, ±3, ...
Los entero s, a saber, O, ± 1, ± 2, ±3, . ..
números racionales, aquellos números
pueden expresarse
una
Los números racionales, aqu ellos números que pueden expresarse en la forma de un a
m/n, donde
son
=FO. Algunos ejemplos
fracción m /n, donde m y n son enteros y n =F O. Algunos ejemplos son

3'
3'

4
9
9

-4
-4
9

4
-9'
-9 '

20013
13

y

57 = 57
57 = 57

1.

Los números racionales
precisamente
números
desarrollo
Los números racionales son precisamente los números reales con desarrollo decimal
que
terminan
finalizan
cadena infinita
ceros);
ejemplo,
(a) terminan (es decir, finali zan con una cadena in finita de ceros); por ejemplo,

"34
4

0.75000 ...
0.75
= 0.75000 . .. = 0.75

o bien...