Aplicación de cuaterniones duales en la cinemática directa de posición para el manipulador FANUC-200ib

Aplicación de cuaterniones duales en la cinemática
directa de posición para el manipulador FANUC-200ib
Application of dual quaternions in direct kinematics for the manipulator position FANUC-200ib
Gerardo Israel. Pérez Soto, Facultad de Ingeniería. Universidad Autónoma de Querétaro. gerardo_p_s@hotmail.com
Fernando Javier. Alcántara L, Facultad de Ingeniería. Universidad Autónoma deQuerétaro.
alcantaralopez@gmail.com

RESUMEN. En este trabajo se presentan de manera breve las herramientas necesarias para comprender los cuaterniones duales, los
cuales son utilizados como una herramienta para tratar la cinemática directa de un brazo manipulador. Se describe la forma en que se
abstrae un brazo manipulador para la aplicación de las herramientas necesarias para obtener el vectorposición y la matriz rotación del
actuador final, esto es, a través de las convenciones y parámetros de Denavit-Hartemberg (D-H). Se utiliza como caso de estudio el
brazo manipulador FANUC-200ib con 6 grados de libertad y se comparan los resultados obtenidos con los arrojados por el método de
matrices de transformación homogénea, el cual es un método clásico y fácil de utilizar. Para mostrar laventaja del método de
cuaterniones duales contra el método de matrices de transformación homogénea se compara el costo computacional de cada uno de
los métodos antes nombrados.

PALABRAS CLAVE. Cinemática directa, cuaterniones, números duales, cuaterniones duales, costo computacional.
KEY WORDS. Direct kinematics, quaternions, dual numbers, dual quaternions, computational cost.

1.INTRODUCCIÓN

En cuanto a los brazos manipuladores se refiere, el
análisis de la cinemática directa es de extrema
importancia; con el tiempo diversos métodos han sido
creados para este tipo de análisis, tales como las matrices
de transformación homogénea, ángulos de Euler,
cuaterniones, álgebras de Lie, cuaterniones duales,
matrices duales, entre muchos otros; a pesar de que todos
estos métodos sonútiles y presentan diversas ventajas
entre sí, también es cierto que algunos de estos métodos
pueden presentar desventajas computacionales.
2.

CUATERNIONES

En esta sección se define el conjunto de cuaterniones,
pilar fundamental para desarrollar este trabajo, además de
las operaciones definidas sobre los elementos de este
conjunto y las estructuras algebraicas creadas a partir delmismo.
Definición 1. El conjunto de cuaterniones, también
llamados bicomplejos y denotado por H , se define como
H = q = ω + xi + yj + zk : ω, x, y, z 

donde las unidades complejas
siguientes condiciones:
i)

i 2 = j2 = k 2 = ijk = -1 .


i, j, k

ii) ij = k = - ji .
iii) jk = i = -kj .
iv) ki = j = -ik .
Los elementos del cuaternion xi + yj + zk en ocaciones
se expresan como unvector υ =  x, y, z  , con lo que el
cuaternion se expresa como q = ω + υ donde ω es
conocida como parte real del cuaternion y υ es conocida
como parte vectorial del cuaternion.
Definición 2. Dados dos cuaterniones q1 = ω1 + υ1 ,
q 2 = ω2 + υ2 elementos de H , se definen la suma de
cuaterniones como
q1  q 2 =  ω1 + υ1  +  ω2 + υ2    ω1 + ω2  +  υ1  υ2  .

Proposición 1. Elconjunto de cuaterniones H junto con
la definición de suma forma un grupo abeliano. Se
muestran a continuación las propiedades necesarias para
formar un grupo abeliano.
i)

cumplen las

Cerradura.
Sean
q1 + q 2  H .

q1 , q 2  H

entonces

ii) Asociativa.  q1 + q 2   q3  q1 +  q 2  q3 
iii) Existencia del neutro aditivo. q  0  q donde el
elemento neutro se define como 0 =0 + 0 .

iv) Existencia del inverso aditivo. Para todo q  H
existe q = ω  υ  H tal que q   q   0 .
v) Conmutativa: q1 + q 2  q 2 + q1 .

ii) Norma: q  q  q .

Definición 3. Sobre el conjunto de cuaterniones H con
el campo de los números reales
se define el producto
de un cuaternion con un escalar como
q =   ω + υ   ω + υ .

Cerradura: Sea  
q  H ....