Aplicación de curvas de nivel

ufeffCALCULO VECTORIAL
“Curvas de Nivel y sus Aplicaciones”






Presentado a:
Prof.



Presentado por:




UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FALCULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE
CUCUTA
2013-02-11
Introducción
El objetivo del presente trabajo, es el de facilitar al estudiante de ingeniería, la asimilación clara de los conceptos matemáticos tratados,pues es el fruto de un cuidadoso análisis de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos con sus debidas respuestas. Desde luego que los escritos que se presentan no son originales, ni pretenden serlo, toda vez que es una recopilación organizada y analizada de diferentes textos. Este texto constituye un material de consulta, el cual genera un diálogo directo con el profesor.

Curvasde Nivel
Definición:
La curva de intersección de una superficie con el plano z = k (constante) o con x = k (constante) o con y = k (constante), se llama Curva de nivel. Para hallar las ecuaciones que representan las curvas de nivel de una superficie representada por f (x; y; z) = 0 con z = k; se reemplaza z por k en la ecuación f (x; y; z) = 0 , para obtener f (x; y; k) = 0 y si graficamos lascurvas que representan estas ecuaciones en el plano z = k, obtenemos las curvas de nivel con z = k, y si las graficamos en el plano xy obtenemos lo que se llama un Mapa de Contorno. En forma análoga se obtienen las curvas de nivel con el plano x = k o y = k: Ejemplo 1.10 Hallar las curvas de nivel de z = x2 + y 2 con z = k: Las ecuaciones que representan las curvas de nivel de z = x2 + y 2 con z =k p son k = x2 + y 2 ; para k 0; cuyos gráficos son circunferencias con centro (0,0) y radio k.

Ejemplos y aplicaciones:
Por ejemplo si k = 0; entonces x2 + y 2 = 0; que tiene por solución (0; 0) y así la curva de nivel es el punto (0; 0; 0): si k = 1; entonces x2 + y 2 = 1; cuyo gráfico en el plano xy es una circunferencia con centro (0,0) y radio 1, y la curva de nivel es el gráfico de estacircunferencia en el plano z=1 si k = 2; entoncespx2 + y 2 = 2; cuyo gráfico en el plano xy es una circunferencia con centro (0,0) y radio 2; y la curva de nivel es el gráfico de la circunferencia en el plano z=2 El mapa de contorno para z = k, consiste en graficar x2 + y 2 = k para k 0 en el plano xy.
Las ecuaciones que representan las curvas de nivel de z = x2 + y 2 con y = k son z = x2 + k 2 ;cuyos gráficos son parábolas para todo k 2 R: En forma análoga, las ecuaciones que representan las curvas de nivel de z = x2 + y 2 con x = k; son z = k 2 + y 2 ; cuyos gráficos son parábolas para todo k 2 R: Ejemplo 1.11 Si x2 + y 2 + z 2 = 4; las ecuaciones que representan las curvas de nivel con z = k vienen dadas por x2 + y 2 = 4 k 2 para 2 k 2 pues 4 k 2 0; si p 2 2 2 si solo si 2 solo si 4 ksi solo si 2 k jkj si solo si 2 k 2; cuyos gráficos son circunferencias en sus respectivos planos, por ejemplo si k = 0; x2 + y 2 = 4; la curva de nivel es una circunferencia y se grafica en z = 0 si k = 1; x2 + y 2 = 3; la curva de nivel es una circunferencia y se grafica en z = 1 si k = 2; x2 + y 2 = 0; cuyo grafico es (0; 0) y las curvas de nivel los puntos (0; 0; 2) ; (0; 0; 2)xyz.Problema:
Determinar y graficar las curvas de nivel del campo escalar (x; y) = x2 + 2x 1+y
Solución:
Las curvas de nivel están dadas por la ecuación
(X; Y) = c
Donde c es una constante arbitraria. Para cada valor de la constante obtenemos una curva de nivel diferente. En este caso es tenemos
x2 + 2x 1 + y = c
O bien despejando y,
y = x2 2x + 1 + c
Esto lo podemosescribir como
y = x2 2x 1 + (2 + c)
y (2 + c) = x2 2x 1 = (x + 1)2
Así que se tratan de parábolas con vértice en ( 1; 2 + c)
En la gráfica a continuación los valores de c y los colores son los siguientes:
c = 0 (azul); 2 (rosa); 4 (amarilla); 2 (roja); 4 (verde)


c = 0 y = x2 2x + 1 c = 2 y = x2 2x + 3 c = 4 y = x2 2x + 5
c = 2...