Aplicación De La Transformada De Laplace A Los Circuitos Eléctricos

APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

El primer paso, será aprenderla transformada que está asociada a cada parámetro ó
componente eléctrica:

EL PARÁMETRO RESISTIVO
EL PARÁMETRO INDUCTIVO
EL PARÁMETRO CAPACITIVO
FUENTES

EL PARÁMETRO RESISTIVO
La transformada de Laplace en un circuito meramente resistivo, no tiene efecto sino en
las funciones devoltaje y corriente:

cuya transformada es:

Estos resultado se pueden observar en la figura:

PARÁMETRO INDUCTIVO
Observe la figura, y detalle que para una inductancia L en Henrys, que posee una
corriente inicial de i(0+) A en la dirección de la corriente i (t), se transforma en el
dominio de s como una impedancia sL en ohmios, en serie con una fuente de voltaje
cuyo valor en s es Li(t) yque va en la dirección de la corriente I(s).

La ecuación que describe el comportamiento del inductor en el dominio del tiempo es:

cuya respectiva transformada es:

PARÁMETRO CAPACITIVO
La figura que se observa en esta sección, muestra una capacitancia de C farads en el
dominio del tiempo; en el dominio de s, ésta se transforma en una impedancia y una
fuente de voltaje en serieoponiéndose a la corriente i(t), cuyos valores se observan
también en dicha figura:

En el dominio del tiempo se tiene:

transformamos esta ecuación, y obtenemos:

la figura inferior muestra si dibujáramos la condición inicial en el dominio del tiempo.

FUENTES
En cuanto a fuentes, la transformada depende de la función que caracterice a dicha
fuente, para ver la transformadas comunes de funcionesoprima aquí. Otra
herramienta que debemos aprender, es el intercambio de fuentes:

En la primera figura, se cumple:

despejamos

I(s):

Resultado que nos conduce a la segunda figura. Estas transformaciones son
bidireccionales, es decir, si tenemos una fuente de corriente en paralelo con una
impedancia se convertirán en una fuente de voltaje en serie con la impedancia, y
viceversa.CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC

Considere el circuito de la figura:

La ecuación diferencial que resulta de hacer LVK, es:

sometiendo esta ecuación a la transformada de Laplace, obtenemos:

De esta ecuación despejamos I(s):

Ahora, cambiamos la forma del denominador para realizar un procedimiento de
fracciones parciales:

hallamos el coeficiente A, igualando s a cero:

hallamosel coeficiente B, igualando s a

, y reemplazamos los valores:

finalmente, aplicamos transformada inversa de Laplace, para que la respuesta esté en
el dominio del tiempo:

CIRCUITO RC SERIE CON FUENTE DC
Observe la siguiente figura:

La ecuación integral que resulta de hacer LVK, es:

aplicando transformada de Laplace:

despejamos I(s):

Si observamos detenidamente esta últimaecuación, nos damos cuenta que podemos
aplicar directamente la transformada inversa de Laplace:

Este resultado generaliza la respuesta en el dominio del tiempo para este tipo de
circuitos.

CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES
Considere el circuito de la figura, donde la corriente inicial del inductor es
amperes, y el voltaje inicial en el condensador es
indicada:

volts, con lapolaridad

Si aplicamos LVK, obtenemos la ecuación integro-diferencial:

le aplicamos transformada de Laplace, y se obtiene:

arreglamos esta ecuación, de tal forma que se pueda ver de forma mas clara:

El primer factor de esta ecuación corresponde a la función del sistema, mientras que el
segundo factor corresponde a la función de excitación. De acuerdo a lo anterior, el
primer factorpuede ser expresado de la siguiente forma:

en Siemens.
Y dada la relación entre admitancia e impedancia:

podemos deducir que:

ahora, dejamos todo en una sola fracción:

Si detallamos la última ecuación escrita, y la relacionamos con la ecuación donde está
despejada I(s), veremos que los ceros de Z(s) son los que en últimas determinan el
comportamiento del circuito. Lo anterior,...