Aplicación de las derivadas en la medicina

Aplicación de las derivadas en la medicina

En este caso la derivada representa la tasa de crecimiento con respecto al tiempo del turmor.
Parte I. Crecimiento
El incremento en volumen o tamaño conforme transcurre el tiempo, que caracteriza a cualquier sistema físico o biológico, es a menudo aproximado de manera satisfactoria por medio de modelos matemáticos decrecimiento. Los primeros intentos por modelar el crecimiento de poblaciones se remontan al siglo XVIII. Entre los fundadores de los modelos matemáticos poblacionales se encuentran Malthus (1798), Verhulst (1838), Pearl y Reed (1908), y después Lotka y Volterra, cuyos trabajos se publicaron entre 1920 y 1930. Se describen a continuación algunos modelos.
Ley deMalthus
Uno de los más comunes experimentos en microbiología consiste en analizar el crecimiento de microorganismos unicelulares bajo ciertas condiciones, a lo largo de varios días. Se coloca una cantidad inicial de microorganismos dentro de un tubo de ensaye que contiene nutrientes. Después de este proceso de inoculación, a la colonia se le mantiene en condiciones que favorecen su crecimiento.Las bacterias se reproducen exitosamente al dividirse sustancialmente, tanto que su tamaño resulta incrementado radicalmente.
Consideremos a N(t) la densidad de bacterias observada en el tiempo t. Si pudiéramos observar las divisiones celulares durante un determinado período de tiempo, nos percataríamos que se obtienen k nuevas células. Así, k es la razón de reproducción por unidad de tiempo. Sidespreciamos la muerte celular que pudiera ocurrir en la colonia, obtenemos la relación fundamental de la densidad de bacterias dada por

esta ecuación es conocida como Ley de Malthus, cuya solución está dada por , donde es la población inicial de bacterias.

Claramente, este modelo tiene limitaciones insalvables, por lo que en principio no es una buena aproximación a la modelación deneoplasias, donde sí ocurren otros procesos adicionales (entre otros: muerte, mecanismos de inhibición de crecimiento y propiedades físicas del medio que rodea a las células).
Crecimiento logístico
Consideremos la ley de Malthus de la sección anterior. Cabe la posibilidad de que la razón de crecimiento dependa directamente de los recursos disponibles de lapoblación. Supongamos que la razón k de reproducción es simplemente proporcional a la concentración de nutriente C, esto es

Supongamos también que unidades de nutriente son consumidas produciendo una unidad de incremento en la colonia. Esto implica que el crecimiento de bacterias y el consumo de nutrientes pueden ser descritos mediante las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
 
Talsistema se resuelve de la siguiente manera
 
es una constante. Si la población es inicialmente muy pequeña, es aproximadamente igual a la cantidad inicial de nutriente en el tubo de ensaye. Substituyendo la última relación de (2) en la primera relación de (1) obtenemos

Este tipo de ley de crecimiento se conoce como crecimiento logístico. Comúnmente aparece en la forma

La solución de laanterior ecuación es


Ley de Gompertz
Finalmente, abordamos la ley de Gompertz, que es una de las principales leyes en la modelación de tumores sólidos, que considera otras de las características de la tumoración:
1. el problema de las geometrías complicadas y
2. las células en el interior de un tumor no tienen acceso a nutrientes y oxígeno.
Estas seconsideran en este modelo supuniendo que la razón de crecimiento declina tanto como la masa celular crece. Este modelo surge porque en muchos de los casos, el crecimiento puede ser verdaderamente complejo por lo que resultaría difícil predecir estados posteriores del crecimiento contando solo con pocas observaciones puntuales. La ley de Gompertz permite predicciones más o menos exactas, basadas en...