Aplicación De Los Conjuntos En Sistemas Computacionales

Elementos de Geometría Analítica en el Plano

Jaime Bravo Febres

ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO
“No importa que el vulgo me critique, si el tribunal de mi conciencia me absuelve”
Leonardo Cortez C.

OBJETO DE LA GEOMETRIA ANALÍTICA.
la Geometría Analítica estudia las propiedades de la formas geométricas (Líneas,
figuras, cuerpos, superficies, etc.) mediante un métodoespecial denominado método
de coordenadas. Además, se aplica ampliamente el álgebra; en la geometría
elemental se recurre a veces a métodos algebraicos como, por ejemplo, al determinar
el área de un triángulo por los tres lados o al calcular el lado de un polígono regular
inscrito en una circunferencia, etc. sin embargo, el dominio de la aplicación de
métodos algebraicos a la geometría hadevenido más exitoso desde que se introdujo
el método de coordenadas, el cual no sólo hizo factible el estudio de la forma y las
dimensiones de las formas geométricas sino también su posición en el plano o en el
espacio.
1. SISTEMAS DE COORDENADAS.

Comenzaremos por presentar los sistemas de coordenadas más frecuentemente
utilizados que son los sistemas cartesianos, así llamados en honor delfilósofo y
matemático francés René Descartes, nacido en 1596 y fallecido en 1650, quien
concibió las ideas de resolver los problemas geométricos por la vía algebraica con
simplicidad y elegancia, dando con ello un considera-ble y fuerte impulso al desarrollo
de la matemática.
NOCIÓN DE EJE.
Sea L una recta, en ella tomemos dos puntos arbitrarios distintos, a los que
denominaremos O y U.Convendremos en que el primero de éstos será la
representación gráfica del número real O (cero) en L y el segundo, la representación
gráfica del número real +1, situado también en L. En estas condiciones la recta
quedará orientada y se le llamará un eje. Al punto O lo llamaremos origen del eje y a
U, lo llamaremos punto unidad.
La semirrecta orientada con origen en O, y que contiene a U, se llamará elsemieje
positivo; la semirrecta opuesta, orientada, se llamará: el semieje negativo. La unión de
los dos semiejes será el eje E.

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Elementos de Geometría Analítica en el Plano

Jaime Bravo Febres

Ahora veremos como es posible representar cada número real mediante un punto,
único, del eje.
Sea X > 0; adoptando como unidad de longitud la del segmento OU, tomemos en el
semiejepositivo un punto P tal que la distancia a O sea X; este punto es único.
Entonces P será la representación gráfica, sobre E, de X.
Sea ahora X < 0. Tomemos, en el semieje negativo, un punto, M, tal que: la distancia
de O a M es −X; este punto es único. Entonces, M será la representación gráfica,
sobre E, de X.
Si X = 0, el punto correspondiente es el origen. De este modo hemos hecho
correspondera todo número real un punto único del eje.
Recíprocamente, a todo punto del eje podemos hacer corresponder un núme-ro real
único. Si el punto es O, éste número será cero. Si el punto P está en el semieje
positivo, y la distancia de O a P, que denotaremos d(O,P), es igual a X, a P le haremos
corresponder X.
Consideremos ahora M un punto del semieje negativo; si d(O, M) = X, a M le haremoscorresponder −X.
Así pues queda establecida una biyección en el conjunto ú de los números reales y el
conjunto E de los puntos de un eje.
Si en un eje E se corresponden mutuamente el punto P y el número real X, entonces X
se llamará la abscisa o coordenada de P. Escribiremos: P(X) y leeremos: El punto P,
de abscisa X.

Observación.
Dos puntos P(X) y P’(X’) son simétricos respecto al origen Osi y sólo si X’ = −X.

MEDIDA ALGEBRAICA DE UN SEGMENTO DE EJE.
Sean A(XA) y B(XB) dos puntos de un eje E. Llamaremos medida algebraica o
“distancia dirigida” del segmento de origen A y extremo B, al número real “XB - XA” , o
sea a la diferencia entre la abscisa del extremo del segmento y la del origen. Tal
medida algebraica se de-nota por AB , es decir:
d(A, B) = AB = XB − XA

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