APLICACI N DE DERIVADAS

APLICACIÓN DE DERIVADAS
Tasas de variacion
Dada una función f(x), llamábamos tasa de variación al número que representa el aumento o disminución que experimenta la función al aumentar la variable independiente de un valor "a" a otro "b".
La tasa de variación de f(x) entre a y b (siendo a TV[a,b]= f(b)-f(a).
La tasa de variación media de unafunción f(x) entre a y b (siendo a

Velocidad y aceleración instanteanea

Velocidad.-
La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo. Se representa por  o. Sus dimensiones son [L]/ [T]. Su unidad en el Sistema Internacional es el metro por segundo (símbolo m/s).
En virtud de sucarácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del desplazamiento y el módulo, el cual se denomina celeridad o rapidez.
De igual forma que la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo, la aceleraciones la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo.

Aceleracion instantanea.-

La aceleración instantánea de un cuerpo es la que tieneel cuerpo en un instante específico, en un punto determinado de su trayectoria. Para definir el concepto de aceleración instantánea con precisión podemos partir de la aceleración media en un intervalo y hacer este infinitamente pequeño (∆t→0 ). Este proceso es análogo al que seguíamos con la velocidad media para calcular la velocidad instantánea.
Se define la aceleración instantánea, osimplemente aceleración, como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a 0. También se define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo. Su expresión viene dada por:
a⃗ =lim∆t→0a⃗ m=lim∆t→0∆v⃗ ∆ t=dv⃗ dt
donde:
a⃗  : Es la aceleración del cuerpo
a⃗ m : Vector aceleración media 
∆v⃗  : Vector variación de la velocidad
∆ t : Intervalo de tiempo que tiende a 0,es decir, un intervalo infinítamente pequeño


Variables ligadadas
Son las variables que no son libres. Una variable ligada está determinada
por una definición anterior, que le asigna un valor. A partir de ello se pueden formular
proposiciones en donde intervengan variables ligadas.
Teorema de rolle y valor medio
Teorema de rolle.-
En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra laexistencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de esta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.
Se puede enunciar de la siguiente manera:
Si  es una función continua definidaen un intervalo cerrado, derivable sobre el intervalo abierto  y , entonces:
Existe al menos un punto  perteneciente al intervalo  tal que .
Curvatura y radio de curvatura
El radio de curvatura es una magnitud que mide la curvatura de un objeto geométrico tal como una línea curva, una superficie o más en general una variedad diferenciable embebida en un espacio elucídelo.
El radio de curvatura deuna línea curva o un objeto aproximable mediante una curva es una magnitud geométrica que puede definirse en cada punto de la misma y que coincide con el inverso del valor absoluto de la curvatura en cada punto:

Por otro lado la curvatura es una medida del cambio que sufre la dirección del vector tangente a una curva cuando nos movemos a lo largo de ésta. Para una curva parame rizada cualquiera lacurvatura y el radio de curvatura vienen dados por:1

Si en lugar de un parámetro cualquiera usamos el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se simplifica mucho, por resultar un vector tangente constante, y puede escribirse como:

Relación entre los graficas de la función y sus derivadas
Las operaciones de derivar y de integrar transforman funciones en funciones;...

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