Aplicaci n Funci n Exponencial en E

Aplicación Función Exponencial en Economía
FUNCIÓN EXPONENCIAL

CRECIMIENTO POBLACIONAL:

Para el crecimiento de la población se usa la ecuación de interés compuesto:
M (t) = P (1+ r)t

Donde M es el monto total, P es el capital inicial invertido,  r  representa la tasa de interés (tasa de crecimiento poblacional) y t es el tiempo.

Ejercicio 1
Página 127

1.- La población. La poblaciónproyectada P de una ciudad está dada por P = 125.000 (1,12)t/20 donde t es el número de años a partir  de 1995. ¿Cuál es la población estimada para el año 2015?

Solución:
Como en la ecuación es (1 + r)t y r  es la tasa de crecimiento; podemos deducir que en el ejercicio la tasa de crecimiento por año es de 12 %. Este porcentaje se divide en 100 y entonces tendríamos 0,12. Se hace con todos losporcentajes de crecimiento.

Aplicando la ecuación:
M (t) = 125.000 (1 + 0,12)t/20  
M (t) = 125.000 (1,12)20/20     Ecuación del Ejercicio
M (t) = 125.000 (1,12)
M (t) = 140.000            Población para el 2015.

Crecimiento de la Población en los 20 años:
M – P = 140.000 – 125.000 = 15000   Crecerá en 20 años


  Tabla de Crecimiento Poblacional


M (t) = 125.000 (1,12)0/20
M (t) = 125.000 (1,12)5/20M(t) = 125.000 (1,12)10/20
M (t) = 125.000 (1,12)15/20
M (t) = 125.000 (1,12)20/20

Gráfica de la función crecimiento poblacional exponencial 



La función exponencial es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales 

Derivando a ella misma 

La funciónexponencial es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. 
El dominio de una función lineal está integrado por el conjunto de los números reales, tanto por positivos y negativos, como enteros y decimales.

Se llama funciones exponenciales a todas aquellas funciones dela forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.

El dominio de la función exponencial está formado por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.APLICACIONES A LA ECONOMÍA
Ejemplo 1.- Si se invierte 5000UM a un interés compuesto continuamente de 8% anual y otro
capital de 4000UM se invierte en un bono de mayor riesgo pero con un interés compuesto
continuamente de 10% ¿Cuándo se tendrá la misma cantidad de dinero en las cuentas
Solución: En la primera inversión como el interés es compuesto continuamente al 8%, el monto
acumuladoestá dado por
A e
0.08= 5000 ⋅
En la segunda inversión el monto acumulado será de
tB e
0.1
= 4000 ⋅
Se tendrá el mismo capital en ambas cuentas cuando
At= Bt t te e
0.08 0.1
5000 ⋅ = 4000 ⋅ .
Esto es una ecuación exponencial, lo llevamos a la forma
g ( x) f ( x)
a = c ⋅ a y tomamos logaritmos
neperianos a ambos lados
axyb
log=15t t e 0.08 0.154= ⋅)54ln( ) ln(
0.08t 0.1t
e = ⋅ e) 0.1 ln( )54
0.08tln(e) = ln( + t e
t ) 0.1t54
0.08 = ln( +11.57
0.02)54ln(t = − ≈ años
Ejemplo 2.- Si se invirtió 1000UM a una tasa compuesta anual de r% y se duplicó al cabo de 6
años ¿Cuál fue la tasa de interés?
Solución: En 6 años el capital final a la tasa del r% compuesto anualmente es 2000. Al usar la
fórmula
nxnr
A = P(1+ ) , con n=1, x=6 y P=1000 tenemos: 6
2000 = 1000(1+ r)6 2 = (1+r)Se toma raíz sexta a ambos lados de la ecuación
6 6 6
2 = (1+ r)
2 1 0.126r = − ≈
Ejemplo 3.- La alcaldía está promoviendo el desarrollo de la zona con ciertos incentivos y con ello
se espera que en los próximos años crezca un 8% anual. ¿Cuánto tiempo tardará la población en
triplicarse, si sigue esta política?
Solución:
En este problema se aplica la fórmula
t
P(t) P (1 r) = 0
+ .
En...