Aplicacin_de_las_matrices

APLICACIÓN DE LAS MATRICES
Modelos de Entrada-Salida de Leontief


El modelo desarrollado por Wassily Leontief, es una aplicación interesante de las matrices, que fue útil para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las variaciones de las erogaciones gubernamentales sobre la economía.
Un modelo simplificado de la economía sería:
Salidas

Productos
Bienes

Entradas
AgrícolasManufacturados
Combustible
Productos Agrícolas
0.5
0.1
0.1
Bienes Manufacturados
0.2
0.5
0.3
Combustibles
0.1
0.3
0.4



A partir de esta tabla, podemos formar la matriz A, la cual se llama Matriz tecnológica o Matriz de Leontief






La matriz tecnológica no tiene toda la información. En particular, cada industria tiene una producción bruta. Se puede presentar la matriz de producción bruta para laeconomía con una matriz de columna
x1
A = X2 X3
Donde x1 es la producción bruta de los productos agrícolas, x2 es la producción bruta de bienes manufacturados y x3 es la producción bruta de combustibles.

La cantidad de las producciones brutas que en la economía usan varias industrias se determina por medio de AX. Las unidades de producción bruta que no se utilizan en estas industrias se denominandemandas finales o superávits y s pueden considerar que están disponibles para los consumidores, el gobierno o la exportación. Si ponemos estos superávits en una matriz columna D, entonces se puede representar el superávit con la ecuación
X – AX = D ó (I – A) X=D
Donde I es la matriz unidad o identidad. Esta ecuación matricial recibe el nombre de Ecuación tecnológica para un modelo abierto deLeontief. Se llame modelo abierto porque
algunas mercancías de la economía están “abiertas” o disponibles para entidades ajenas a la economía

Ejercicio. Si queremos tener un superávit de 85 unidades de producción agrícola, 65 de productos fabricados y 0 unidades de combustible ¿cuáles deben ser las producciones brutas?

Por datos
Debemos resolver:
85
D = 65
0
1 0 0 0.5 0,1 0,1 X1 85
0 1 0 - 0,2 0,5 0,3x X2 = 65
0 0 1 0,1 0,3 0,4 X3 0
1 0 0 0,5 0,1 0,1 0,5 -0,1 -0,1
I – A = 0 1 0 - 0,2 0,5 0,3 = -0,2 0,5 -0,3
0 0 1 0,1 0,3 0,4 -0,1 -0,3 0,6



Debemos resolver la ecuación matricial
0,5 -0,1 -0,1 X1 85
-0,2 0,5 -0,3 X2 = 65
-0,1 -0,3 0,6 X3 0
La matriz ampliada es
Si se reduce utilizando el método de Gauss-Jordan, se obtiene De modo que las producciones brutas de las industrias sonAgricultura: X1 = 300

Manufactura:
X2
=
400
Combustible:
X3
=
250

La ecuación tecnológica para el modelo de Leontief se puede resolver usando la inversa de I – A, si esta existe. Es decir,
(I – A)X = D tiene solución X = (I – A) -1D
Problemas
1. Una economía simple tiene una industria de calzado y una de ganadería con la matriz tecnológica
C G
1.1 0.1 Calzado
A =
1.2 0.05 Ganadería
Se desean superávitsde 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado. Encuentre la producción bruta de cada industria.

1 0
0,1
0,1 
0,9
0,1
Hallemos I – A = 

 
0 1
0,2
0,05
0,2
0,95
I A1 
1 0,95

0,1

(0,9)(0,95) (0,1)(0,2) 0,2
0,9
1 0,95
0,1
1,13
0,11
I A1  
I A1  
0,835 0,2
0,9
0,23
1,07
1,13
X 0,23
0,11850
1,07275
1,13850
X0,23850
0,11275
1,07 275
990,75calzado
X 489,75ganado
  
  


Verificar
(I-A)X=D
0,9
0,2
0,1 990,75

0,99 489,75
842,7
267,4

2. Un pequeño pueblo tiene 3 industrias primarias, una mina de cobre, un ferrocarril, y una planta de energía eléctrica. Para producir una unidad (1 $) de cobre la mina gasta $0.20 de cobre, $0.1 de transporte, $0.2 de energía eléctrica. Paraproducir $1 de transporte, el ferrocarril requiere de $0.1 de cobre, $0.1 de transporte, y $0.4 de energía eléctrica. Para producir $ 1 de energía eléctrica, la planta destina $ 0.2 de cobre, $ 0.2 de transporte, y $ 0.3 de energía eléctrica. Suponga que durante un año hay una demanda externa de 1,2 millones de dólares de cobre, 0.8 millones de dólares de transporte, y 1.5 millones de dólares por...