Aplicacion de ecuaciones diferenciales

1.8 Dinámica del desarrollo de tumores,
problemas de mezclado y trayectorias ortogonales
En esta sección se presentan tres aplicaciones sencillas, pero extremadamente útiles, de las ecuaciones deprimer orden. La primera aplicación trata del crecimiento de tumores sólidos; la segunda trata del problema de mezclado o análisis compartimental, y la tercera aplicación indica cómo encontrar unafamilia de curvas que es ortogonal a una familia dada de curvas.
a) Dinámica del Desarrollo de Tumores
Se ha observado experimentalmente que ciertas células "libres" como las bacterias, se desarrollan ocrecen a una tasa proporcional al volumen de las células en proceso de división en ese momento. Denótese por V(t) el volumen de las células en el tiempo t. Entonces se tiene
dV
para algunaconstante positiva X. La solución de (1) es
V(í)=V0ex('-'o) (2)
donde V0 es el volumen de las células en división en el tiempo inicial /0- Así pues, las células libres crecen exponencialmente en el tiempo.Una consecuencia importante de (2) es que el volumen celular se duplica continuamente (Ejercicio 1) cada intervalo de tiempo de magnitud In2/X.
Por otro lado, los tumores endurecidos no crecenexponencialmente en el tiempo. Al crecer un tumor de este tipo, continuamente se incrementa el tiempo de duplicación del volumen total. Varios investigadores han señalado que los datos para muchos tumoresse ajustan bastante bien, durante un desarrollo a casi 1 000 veces el volumen inicial, a la ecuación
K(0=Koexp(£(l-exp(-a/))) (3)
donde exp (*) = ex; \ y a son constantes positivas.
La ecuación(3) se designa usualmente como una relación gompertziana. Expresa que el tumor crece cada vez más y más lento y que su volumen tiende al valor V0ex/a. Durante mucho tiempo, investigadores médicos hantratado de explicar esta desviación del simple crecimiento exponencial. La manera de obtener una mejor perspectiva del problema es encontrar una ecuación diferencial que tenga a V(t) como solución....